Откосы как сделать самому: Как сделать откосы на окнах своими руками: пластик, гипсокартон, штукатурка

Разное
alexxlab

Содержание

Откосы для пластиковых окон своими руками: пошаговая инструкция


Откосы на окнах выполняют две функции – декоративную и практическую. Они придают оконному проему завершенный эстетически приятный внешний вид после установки пластикового окна. С практической стороны они защищают монтажный шов от разрушения под воздействием влаги и солнечных лучей. Установив откосы для пластиковых окон своими руками, можно избежать запотевания стеклопакетов и промерзания их в зимний период. Как правильно сделать откосы на пластиковые окна, будет рассказано в этой статье.

Виды

Откосы, что это такое? Простыми словами – это внутренняя ниша оконного проема. Отделка пластиковых окон может происходить с применением различных материалов внутри и снаружи помещения.

Откосы закрывают нишу оконного проема

Наиболее распространены откосы из пластика благодаря тому, что произвести монтаж можно самому. Срок их годности можно измерять десятками лет. При оформлении проема откосниками из пластика можно достичь максимального сочетания с материалом оконной рамы.

Заделка откосов после установки окон при помощи пластика может осуществляться снаружи, но при условии использования качественного материала. В противном случае под воздействием солнца они начинают желтеть. А в условиях низких или высоких температур они становятся хрупкими.

Отделку из штукатурки устраивают нечасто. Несмотря на то что это самый бюджетный способ, оконные откосы своими руками из этого материала изготовить трудно. Изготовление откосов в данном случае требует определенных профессиональных навыков.

Отделка окон штукатуркой займет немало времени, так как необходимо будет выполнить несколько слоев, на высыхание которых потребуется время. Чаще этот материал применяется для отделки наружных частей оконного проема.

Отделка откосов своими руками при помощи гипсокартона – это достаточно трудоемкий процесс. Важно учитывать, что использовать можно только материал марки ГКЛВ и исключительно для внутренних работ.

После установки пластиковых окон их отделку можно выполнить из сэндвич-панелей. Откосы получаются теплыми и могут устанавливаться снаружи и внутри помещения.

Для арок устанавливаются элементы из вспененного ПВХ. Он хорошо работает на изгиб.

Металлические откосы – это наилучший вариант отделки оконной ниши с уличной стороны.
После того как установлены окна, как сделать дальнейшую отделку решает собственник. Как установить изделия из пластика или металла, написано ниже.

Штукатурка

Откосы на окнах своими руками из штукатурки имеют следующие преимущества:

  • доступную стоимость;
  • высокую прочность покрытия и его устойчивость к повреждениям механического характера;
  • при устройстве наружной отделки штукатурный слой выдерживает воздействия природных явлений и перепады температур;
  • чтобы узнать, как оформить откосы на окнах своими руками при помощи штукатурки, достаточно изучения основ отделочных работ в соответствующей литературе или интернете;
    при нарушении целостности штукатурного слоя возможен ремонт откосов окон своими руками. Отремонтировать пострадавший участок можно, наложив новый слой раствора;
  • штукатурка обладает длительным эксплуатационным сроком.

Из недостатков можно отметить невысокие теплоизоляционные качества, необходимость периодически восстанавливать целостность покрытия, иначе в образовавшиеся трещины попадет влага и образуется плесень. Как делать такие откосы, когда окно установлено, будет рассказано ниже.

Монтаж

Перед началом работ необходимо подготовить инструменты.

Работы производят в следующей последовательности:

Красиво смотрится отделка оконного проема декоративной штукатуркой.

Гипсокартон

Гипсокартон и изделия из него обладают следующими положительными качествами:

  • это экологически чистый и безопасный для человека и окружающей среды материал;
    материал распространен и доступен по цене;
  • откосы на окна своими руками при помощи гипсокартона можно сделать самостоятельно, не имея определенных навыков;
  • установка откосов происходит быстро и с минимальным количеством строительного мусора;
    окно приобретает законченный аккуратный внешний вид;
  • при помощи гипсокартона можно оформить арочный проем;
  • этот материал имеет долгий срок службы;
  • поверхность гипсокартона можно штукатурить или облицовывать любыми отделочными материалами.

Для оформления оконных проемов рекомендуется использовать влагостойкий гипсокартон марки ГКЛВ. Для устройства наружных фрагментов этот материал категорически не годится, так как за короткое время потеряет свои эксплуатационные качества.

Схема отделки откосов гипсокартоном

Как сделать откосы на окнах из гипсокартона пошагово, будет показано ниже. Стоит отметить, что монтаж гипсокартонных откосов может производиться двумя способами: на клей или на металлический каркас.

Подготовка

При способе крепления гипсокартона непосредственно к основанию последнее необходимо подготовить. Как сделать откосы на окнах при помощи этого материала, будет рассказано ниже.

Самым простым способом крепления откосов является крепление на монтажную пену. С этим справится даже новичок.

Монтаж

Как сделать отделку окон из гипсокартона, «посадив» их на пену будет рассказано ниже.

Пластиковые панели

Чтобы понять, что такое панели ПВХ, необходимо ознакомиться с их положительными качествами.

  • это безопасный материал, не выделяющий токсические вещества;
  • он устойчив к влаге;
  • пластик прост в обработке, монтаже и эксплуатации;
  • обладает маленьким собственным весом, поэтому не несет существенной нагрузки;
    не горит, а только плавится. Но важно знать, что во время этого процесса выделяются ядовитые вещества;
    не боится перепадов температур;
  • морозоустойчив;
  • позволяют создавать ровное прочное покрытие, не подверженное деформации;
    эстетичность покрытия позволяет применять его в любых интерьерах;
  • обладает шумоизоляционными качествами;
  • не является проводником электричества;
  • устойчив к химическим реагентам.

Как сделать откосы своими руками из пластика, рассказано ниже.

Монтаж

Размеры деталей снимают таким же образом, как и для гипсокартона. Производить предварительную отделку откосов не надо. Монтаж откосов производится при помощи брусков и стартового профиля.

Сэндвич-панели

Установить откосы у пластиковых окон при помощи сэндвич-панелей можно самостоятельно таким же образом, как и описано выше.

Схема монтажа сэндвич-панелей на откос

На фото показан способ крепления сэндвич-панелей без стартового профиля. При таком способе в монтажном шве делают прорезь глубиной в 1 см, куда вставляется панель. Снаружи ее крепят к выравнивающему профилю.

Достоинства сэндвич-панелей:

  • это прочный материал, имеющий при этом небольшой собственный вес;
  • это современный отделочный материал, пластиковая поверхность которого может быть выполнена в любом цвете;
  • является энергоэффективным материалом благодаря применению в качестве внутреннего слоя вспененного пенополистирола;
  • панели просты в обработке, монтаже и последующей эксплуатации;
  • они не гниют и не покрываются плесенью.

Металлические откосы

Отделка наружных откосов на окна с помощью металла позволяет надежно закрыть монтажный шов и защитить его от погодных явлений.

Как заделать откосы после установки пластиковых окон поэтапно, будет рассказано ниже:

Откосы своими руками — изготовление из гипсокартона, шпаклевки, дерева и пластика (100 фото-идей)

Суматоха, связанная с важной переменой, покупкой пластиковых окон – это выбор профиля, конструкции, фурнитуры, но не только. Предстоит принять решение по поводу откосов. Без помощи специалистов, разные виды откосов можно сделать, сэкономить немного денег при этом и купить подоконник, например, подороже.

Минус в том, что, скорее всего, нельзя будет ремонтировать окна по гарантии. С другой стороны они и не должны ломаться. Гарантия является лишь страховкой.

Часто нужно утеплить оконный проём, качество «родных» откосов не устраивает. Только демонтировав старые, усовершенствовав их утеплителем, получится ситуацию изменить.

Мозаика из стекла, зеркальных брызг, осколков, рельефная поверхность и другие экстравагантные варианты оформления создаются в отдельном порядке, собственноручно по большей части. Фото откосов своими руками, из разных материалов помогут сделать выбор. Но и от особенностей монтажных работ, их простоты или сложности, доступности многое зависит.

Плюсы и минусы штукатурки

Нарастить откос путём оштукатуривания – это самый элементарный способ оформления оконного проёма. Не нужно покупать инструменты, современные материалы. Раньше люди штукатурили стены только самостоятельно и прекрасно справлялись с этой задачей.

Минусы этого метода:

  • поверхность в итоге может получиться неровной;
  • желательно утеплить такие откосы дополнительно;
  • времени на работу потребуется довольно-таки много, потому что нужно будет наносить строительную смесь в несколько слоёв, давать каждому высохнуть.

Если постараться, новые откосы всё равно получаться ровными, красивыми. Как говорится, глаза бояться, а руки делают. Следует купить нужные материалы, приступить к восстановлению естественного, обычного для квартир и домов оформления.

Важно учесть, что в итоге откос будет не столь гармонично с окнами смотреться, как пластиковый. Будет утрачено ощущение новизны, прогресса. Зато будет уютно, в дом вернётся красота в стиле «ретро».

Гармония оформления оконного проёма понимается разными людьми по-разному. Это касается не только штор, выбора растений, расцветки подоконника, цвета окон, но и откосов.

Особенности монтажа

Как сделать откосы своими руками при поморщи штукатурки без дефектов? Поверхность проще сделать, если использовать специальные штукатурные маяки. Они есть в продаже, могут быть гипсовыми, металлическими, деревянными.

Лучше выбрать гипсовые, поскольку они очень удобны в обращении. Металлические идеально фиксируются, а деревянные проще извлекаются в процессе реставрации.

Сколько маяков надо на одно окно? Они устанавливаются по чёткой схеме. Первый прикрепляется рядом с оконной рамой, вплотную. В итоге расстояние напуска, нахлёста откоса на раму должно составлять около 50 мм. Маяки нужны и на внешних углах оконного проёма. Эти участки подвержены большей нагрузке, данный элемент укрепляет их.

Малярные уголки помогают улучшить эффект, добиться оптимальных результатов, сформировать правильный угол. Прикрепляют их при помощи гипсовой шпаклёвки.

Для того чтобы штукатурка не трескалась, перед тем, как приступить к созданию новой поверхности, старую надо тщательно очистить. Добиться лучшего сцепления новых материалов с поверхностью можно, если сделать насечки, хотя это не обязательно.

Поверхность нужно покрыть грунтовкой. Для оштукатуривания используется смесь цемента с песком в пропорциях 1 к 2. Гипсовая сухая штукатурка идеально подходит для верхнего откоса.

Каждый слой наносится максимально аккуратно, ему дают высохнуть, выравнивают шпателем, затем приступают к нанесению следующего. Шлифовка последнего слоя – ответственный процесс. Понадобится не шпатель, а шлифовальная машинка или наждачная бумага – с крупными зёрнами и помельче.

Герметик, который можно применять под покраску, поможет устранить щели в углах, по линии соединения откоса с оконной рамой, стеной.

Вот собственно и всё, откосы готовы. Поверхность грунтуют и окрашивают в нужный цвет. Если предусмотрено утепление, необходимо после устранения старых откосов, обработки стен грунтовкой, шпаклёвкой, монтировать изоляционный материал, фиксировать при помощи пены или при помощи гвоздей, предназначенных для этого. Затем наносить штукатурку.

Откосы из гипсокартона – масса преимуществ

Установка откосов своими руками из гипсокартона сложна на первый взгляд. Делают всё «по-научному», как говорится. Из-за этого, пожалуй, результат роскошный – окна аккуратные, стильные, модные. Правда, понадобятся специальные инструменты, которые не в каждом доме есть.

Люди привыкли, что нужен молоток для того, чтобы забить гвоздь, но оказалось, что практичнее приобрести шуроповёрт. На даче молоток актуален, а в квартире с современным ремонтом нет. И всё из-за гипсокартона.

Это лёгкий по весу материал, режется болгаркой. С его помощью в сжатые сроки реально создать идеально ровную поверхность. Такие откосы можно отремонтировать в случае незначительных повреждений при помощи шпаклёвки.

Недостатком является то, что он неустойчив к воздействию влаги. Обязательно следует использовать грунтовку. Его нельзя применять для оформления поверхностей со стороны улицы.

Начинают с монтажа каркаса: прикрепляется металлический профиль, направляющие. Затем фиксируют утеплитель, устанавливают листы гипсокартона. Обшивают сначала боковые стороны, а затем верхнюю часть.

При желании, если навык есть, с работой можно справиться быстрее, чем если выбрать оштукатуривание. Дверные откосы своими руками часто тоже делаются из этого материала. Он красив, практичен.

Сендвич-панели для откосов

Как сделать откосы на окнах своими руками без лишних усилий? Сэндвич-панели – то, что надо. Купив их, можно одновременно завершить декор и утеплить оконный проём. Они бывают разных цветов, легко фиксируются.

Для того чтобы привести откосы в порядок, необязательно в этом случае удалять старые, но желательно — будет создана по-настоящему прочная поверхность, которая прослужит много лет. Если же задекорировать сэндвич-панелями старую поверхность, от её состояния будет зависеть продолжительность их эксплуатации.

Старотовый профиль размещают рядом с рамой, а для внешнего края берут деревянную рейку. К ним прикрепляется сэндвич-панель при помощи шурупов, саморезов.

Монтажной пеной аккуратно заполняется пустота между панелью и стеной. Декоративный профиль надевается на углы, фиксируется. Остаётся только протереть новую поверхность, убрать пыль. Откосы сделаны, новый дизайн будет радовать глаз красотой современных материалов, их сочетания.

Фото откосов своими руками


Также рекомендуем посетить:

Как сделать откосы на входную дверь своими руками

Установку входной двери можно считать завершенной, как только полотно водворено на место, прикреплена вся фурнитура и проверена исправная работа замков. Однако на этом этапе окончены лишь монтажные работы, а впереди предстоит еще отделка дверных откосов. За отдельную плату можно доверить выполнение этой задачи специалистам, которые устанавливали входную конструкцию, но делаться этот процесс, чаще всего, будет не сразу, ведь необходимо выбрать способ отделки и подобрать материал. Да и есть ли смысл тратить финансы, если можно оформить дверные откосы своими руками? Необходимо лишь выбрать один из вариантов декоративной отделки, самому подготовить необходимый инструмент и материал, и посвятить этому занятию немного свободного времени.

Содержание статьи

Варианты оформления откосов входных дверей

После установки металлической двери ее лицевая сторона смотрится идеально: завершенный вид конструкции обеспечивают наличники, а вот внутри помещения есть над чем поработать. Придется устранять все последствия проведения монтажных работ: прятать крепления, заделывать оголившийся материал проема, проще говоря, – оформлять откосы для входных дверей. Сделать это можно одним из трех способов:

  1. выровнять цементным раствором и заштукатурить;
  2. приклеить отделочный материал;
  3. выполнить каркасную конструкцию и обшить ее листовым материалом.

Чтобы определиться, каким способом лучше сделать дверные откосы своими руками, рассмотрим подробнее каждый из этих вариантов.

Штукатурка откосов

Если вы задались целью, как сделать наиболее долговечные откосы на входную дверь своими руками, тогда стоит выбрать этот вариант. Это не самый быстрый, но зато наиболее надежный способ. Слой раствора и штукатурки станет дополнительным барьером от потери тепла, а заодно улучшит звукоизоляцию. Кроме того, застывший слой цементного раствора обеспечивает дополнительную прочность дверной конструкции. Минус заключается в том, что оштукатуривание – наиболее трудоемкий процесс заделки откосов для дверей. Кроме того, он не является завершающим этапом оформления: придется еще произвести покраску откосов или выбрать другой способ финишной отделки.

Приклеивание отделочного материала

Для этого способа можно использовать различные материалы, но чтобы они хорошо держались, поверхность откосов должна быть ровная. Если во время монтажа на входной двери была нарушена геометрия проема, может потребоваться предварительное выравнивание стен раствором.

Изготовление и обшивка каркаса

Оформить дверной откос каркасной конструкцией – наиболее быстрый и «чистый» вариант. В качестве обшивки можно использовать различные материалы: гипсокартон (с последующей отделкой), панели МДФ, ПВХ, ламинат. Для утепления и улучшения звукоизоляционных свойств двери внутри каркаса укладывают утеплитель.

Подготовка к монтажу откосов

Перед тем как приступить к оформлению откосов для входной двери, необходимо произвести подготовительные работы:

  1. Сначала обеспечиваем защиту дверного полотна и коробки от пыли, грязи и случайных повреждений. Для этого понадобится малярный скотч и полиэтиленовая пленка.
  2. Далее необходимо выровнять основание проема. Стесываем сильно выступающие неровности, удаляем непрочные рыхлые материалы.
  3. Очень тщательно очищаем поверхность от пыли, используя щетку с жестким ворсом или веник. Особенно важна очистка, если предстоит использование цементного раствора и штукатурки – пыль и частицы мусора сильно снижают адгезию материала.
  4. Следующий этап – грунтовка поверхности. Если стены выполнены из пористого материала, как пенобетон, можно использовать обычную грунтовку. В остальных случаях – состав глубокого проникновения.
  5. На этом этапе будет неплохо предусмотреть возможность прокладки кабеля, чтобы впоследствии не пришлось просверливать стену. Для сквозного отверстия можно использовать алюминиевую трубку, диаметр которой превышает толщину кабеля. Трубку фиксируют внизу, рядом с плинтусом. Если откос входной двери будет оформлен каркасом, тогда трубу для кабеля укладывают после сборки конструкции.

Процесс оштукатуривания откосов

Рассмотрим поэтапно, как сделать откосы на дверях с применением штукатурной смеси.

  1. Чтобы получить ровную поверхность, сначала устанавливаем маячки. Чтобы они закрепились как можно быстрее, используем для этого гипсовый раствор, который затвердевает буквально в течение одного–двух часов. По длине откоса необходимо расположить 2–3 кучки раствора, разведенного в соответствии с инструкцией, поставить маячки, с помощью уровня проверить их положение и отрегулировать, чтобы они находились в одной плоскости.
  2. Когда раствор, в который установлены маячки, крепко схватился, приступаем к приготовлению цементно-песчаной штукатурной смеси. Количество цемента и песка берем в соотношении 1:4. Чтобы раствор тщательно перемешался, следует использовать насадку-миксер для дрели. Инструмент мы запускаем на малых оборотах. Если добавить в замес небольшое количество гипса, готовая смесь будет схватываться быстрее.
  3. Для нанесения раствора используем кельму и шпатель. Смесь выкладываем на участок откоса и выравниваем по установленным маякам.

К финишной отделке можно приступать только после полного высыхания штукатурки. Срок полного затвердевания зависит от толщины слоя. Лучше не спешить с нанесением шпатлевки, и выждать сутки. Когда финишная шпатлевка высохнет, поверхность стены готовят под покраску или другой вариант отделки по желанию.

Откосы на клеевой основе

Теперь рассмотрим способ, как сделать откосы входной двери, используя листовой материал и клеевую основу. Для этого варианта тоже придется наводить цементно-песочную смесь, поскольку поверхность стены должна быть предварительно выровнена. Придерживаемся следующего порядка действий:

  • В очищенную и прогрунтованную поверхность стены вкручиваем саморезы. Наша задача – получить из шляпок саморезов упор, на который ляжет материал обшивки. Шляпки должны располагаться в одной плоскости. Заглубляя саморезы, необходимо учесть толщину обшивочного материала.
  • Когда у нас подготовлена своеобразная «посадочная площадка», все пространство откоса начинаем заполнять цементно-песчаным раствором. Толщину накладываем такую, чтобы шляпки саморезов слегка возвышались. Ждем сутки, пока штукатурка высохнет.
  • Замеряем откосы на двери и вырезаем панели соответствующего размера. Используем для этого любой подходящий материал: гипсокартон, пластик, МДФ.
  • Подбираем клеевой состав, который подходит к материалу. Покрываем клеем заштукатуренный откос и обратную сторону материала. Плотно прижимаем листы к откосу, чтобы они уперлись в шляпки саморезов. Уровнем проверяем положение листов.
  • Щели и пустоты, которые могут остаться по периметру откоса, заделываем гипсовым раствором или скрываем уголком.
  • Выполняем декоративную отделку откоса.

Установка откосов на каркас

Чтобы откосы входной двери своими руками установить на каркасную конструкцию, потребуются деревянные бруски или металлический профиль, а также облицовочный материал на свой вкус: гипсокартон, МДФ, пластик или ламинат. Будет неплохо заодно подготовить утеплитель, чтобы улучшить теплосбережение дверной конструкции и ее звукоизоляционные свойства. Утеплитель мы будем закладывать в полость каркасной основы.

Для крепления каркаса к поверхности стены будем использовать саморезы или дюбельные гвозди. На готовую конструкцию производим монтаж материала, который заранее вырезаем по размеру откоса. Стыки декорируем декоративным уголком.

Особенности выбора материала для откосов

Оштукатуренные и затем покрашенные откосы считаются наиболее прочными и долговечными. Если же вы собираетесь оформить откосы входных дверей своими руками другим способом, следует учитывать особенность материалов: их соответствие условиям службы и устойчивость.

Если откосы устанавливаются на входную дверь квартиры, которая не подвергается перепадам влажности и температуры, то материал можно использовать любой. Для коттеджей следует остановить выбор на материалах, не подверженных рассыханию и порче от влаги. Как вариант – приобрести влагоустойчивые панели.

Для отделки откосов принято использовать:

  • Гипсокартон – недорогой материал. Монтаж производится на клей или саморезы. Угловые элементы из этого материала необходимо армировать специальными уголками. Нуждается в последующей финишной отделке.
  • МДФ – прочный, износоустойчивый материал с декоративным оформлением лицевой поверхности. Имеет множество оттенков и фактур. Крепится посредством кляймеров или саморезов.
  • Ламинат – материал, после монтажа которого откос приобретает эстетически законченный вид. Установка ламелей производится как в продольном, так и в поперечном направлении. Благодаря замочному креплению быстро и просто стыкуется между собой. К стене необходимо прикрепить первый и последний элемент вертикального откоса. Горизонтальный откос фиксируется к поверхности стены по всему краю.
  • Пластик обладает меньшей прочностью, чем все перечисленные материалы. Процесс установки аналогичен откосам из ламината. Чтобы защитить пластик от ударных нагрузок, обшивка крепится через каждые 10–15 см. Преимущества пластиковых панелей – необременительный гигиенический уход и множество вариантов декоративного оформления.

Из представленных вариантов оформления дверных откосов будет несложно выбрать наиболее подходящий способ и материал. По окончании работ удалите защитную пленку с полотна и короба двери.

Пластиковые откосы своими руками: инструкция по монтажу

Чтобы быстро и без особых трат привести в порядок дверной проем можно поставить пластиковые откосы своими руками. Эти элементы конструкции просты в обращении, а потому справиться с задачей может даже новичок. Давайте рассмотрим, в чем преимущества такой отделки и, как правильно самостоятельно установить пластиковые откосы.

Пластиковые откосы — простой и недорогой способ отделать дверной проем

Особенности материала

Пластиковые откосы – не менее популярная отделка дверных проемов, нежели гипсокартон или МДФ. Особенно хороши в декоративном и функциональном плане откосы из сэндвич-панелей, которые можно сделать своими руками. Вообще, под монтаж можно использовать обычные ПВХ-панели, как более бюджетный вариант. Однако в связи с тем, что в дверном проеме часто требуется монтаж слоя для утепления и герметизации зазоров, лучше использовать различные модели сэндвич-панелей. Они представляют собой материал, состоящий из нескольких слоев: боковые ПВХ-накладки и прослойка между ними из утеплителя, чаще всего обыкновенной монтажной пены.

Для отделки откосов могут использоваться как обычные, так и утепленные пластиковые панели

Установка откосов из сэндвич-панелей имеет целый ряд преимуществ:

  • Легкость. Материал имеет незначительный вес, что позволяет установить его, сэкономив на креплениях. К тому же их монтаж не утяжеляет сам проем.
  • Доступность. Приобрести такие накладки на откосы можно практически в любом строительном магазине.
  • Ассортимент. Доступны образцы, различные по цвету, фактуре, матовости, размерам и наполнению.
  • Простота обработки. Резать ПВХ очень легко, особенно хорошо использовать электролобзик.
  • Простой монтаж. Чтобы сделать отделку из сэндвич-панелей своими руками можно обойтись монтажной пеной или жидкими гвоздями.
  • Стоимость. В сравнении с другими материалами цена на пластик остается небольшой.
  • Теплоизоляция. Сэндвич-панели за счет своего наполнения позволяют установить барьер для холода и сквозняка без использования дополнительных материалов.
  • Простой уход. Для того чтобы в дальнейшем очистить поверхность достаточно протереть ПВХ поверхность влажной тряпкой.
  • Долговечность. Такие откосы прослужат очень долго, так как они хорошо противостоят ударам и истиранию, не боятся воды и весьма устойчивы к ультрафиолету.

Легкость и доступность — основные преимущества пластиковых панелей как отделочного материала

Обратите внимание на качество материала и репутацию производителя, далеко не весь пластик имеет вышеописанные свойства.

Способы отделки

Для того чтобы своими руками сделать откосы из пластика нужно заранее разработать проект конструкции. Сделать это просто, достаточно подобрать подходящий ПВХ и выбрать способ размещения обычных или сэндвич-панелей.

Обычно для отделки откосов пластиком своими руками используют простой белый материал, так как это по сути нейтральный вариант, или же бежевую расцветку. Для деревянных дверей также актуально подбирать материал в соответствующей расцветке и со схожим древесным рисунком. Благодаря ассортименту современных отделочных материалов это не является большой проблемой.

Сделать монтаж откосов из пластика можно несколькими способами. Отделка может выглядеть как:

  • Прямые накладки. Это простейший вариант. В этом случае нужно лишь подобрать подходящие по размерам отрезки ПВХ и закрепить их вертикально по бокам и горизонтально вдоль и сверху в проеме.
  • Горизонтальное расположение. Этот метод подойдет для тех случаев, когда после ремонта остались отрезки пластика. Их укладывают на каркас поперек стены, максимально маскируя стыки.
  • Ламели. Если вы хотите выделить откосы, тогда попробуйте сделать своими руками этот вариант. Для начала сооружается каркас, а затем на рейки одевается пластик, располагаясь поперек, как в предыдущем варианте. При этом лучше использовать рельефный материал, наподобие сайдинга.

Варианты отделки дверных откосов с помощью пластика

Подготовка поверхности

Сделать хорошие ПВХ-откосы своими руками достаточно просто. Для этого даже необязательно выводить идеально ровный периметр проема.

Перед тем как начать делать пластиковые откосы необходимо позаботиться о том, чтобы качество поверхности соответствовало норме. В квартирах и частных домах частой проблемой становится образование зазоров в проеме в местах крепления откосов, которые приводят к появлению сквозняков и промерзающих участков стены. Для того чтобы этого не произошло следует предварительно проверить проем на наличие щелей и заделать все недостатки. Для этого используется монтажная пена, герметик или штукатурка. Дополнительно рекомендуется проложить слой утеплителя по бокам для улучшения термоизоляции.

Перед тем как приступить к отделке откосов необходимо заделать все щели и при необходимости утеплить проем

Также важно не допустить образование плесени и грибка на стене. Для этого рабочую область обрабатывают антисептической пропиткой. Если вы планируете предварительно выровнять откосы, также нужно прогрунтовать поверхность. Затем производится отделка шпаклевкой мест с наиболее заметными изъянами. Особое внимание нужно уделить углам, в частности внешним. Для удобства их выведения используйте серпянку и специальные профили. Перед началом укладки пластика нужно убедиться в том, что на откосах не осталось сыпучих участков и строительного мусора.

Технология монтажа

Установка пластиковых откосов может осуществляться своими руками в нескольких вариациях. Для начала следует рассмотреть наиболее простой и выигрышный вариант, а именно – откосы из готовых сэндвич-панелей. Лучше всего, если один их край будет иметь выступ уголком, что позволит одновременно закрепить отделку на самой стене с внешнего угла и вывести ровные контуры проема.

Проще всего производить монтаж на пену. Для этого нужно приложить подрезанные по ширине и длине проема панели к месту, где вы собираетесь их крепить. Выровняйте уровень и установите распорки. Затем необходимо нанести небольшое количество пены в зазор. После высыхания монтажной пены отделка надежно закрепится на месте. Делать это можно и заранее, если ПВХ-отделка перекрывает доступ к обратной стороне планки.

Иной монтаж пластиковых откосов на дверь своими руками предполагает использование профилей. Можно взять тот же ПВХ-материал или воспользоваться алюминием, как для гипсокартона. В первую очередь нужно делать каркас по периметру проема. После его установки своими руками может выполняться лицевая отделка. Пластик привинчивается саморезами, а затем места креплений по краям закрываются ПВХ уголком, посаженным на клей.

Для дополнительного утепления под пластик можно проложить минеральную вату или изолон.

Благодаря пластиковым откосам можно в краткие сроки обустроить полноценное оформление дверного проема. Это отличная отделка для бюджетного ремонта в доме.

Рекомендуем посмотреть видео

Как сделать откосы из гипсокартона своими руками: инструкция с пошаговыми фото

Мечта сбылась, вы заменили окна. Больше не дует из всех щелей. Гораздо тише стало в доме. Не слышен шум улицы. Рамы новые, стекла прозрачные, как капелька росы. Красота! Одно только омрачает праздничное настроение. Демонтируя старые окна, рабочие повредили откосы. Даже не повредили – уничтожили.

Можно ли самостоятельно исправить ситуацию? Можно! Хотя, конечно, лучше чтобы эту, как и любую другую работу, делали специалисты, но можно справиться и самому. Хороших мастеров по установке откосов в Челябинске вы найдете тут. А если все-таки решите монтировать их самостоятельно, то ниже мы расскажем, как это сделать.

Отделка откосов гипсокартоном. Что понадобится?

Инструменты, которые нужны для работы, есть в каждом доме. Для того чтобы произвести монтаж откосов из гипсокартона, понадобятся:

  • Перфоратор.
  • Шуруповерт.
  • Пистолет с баллоном монтажной пены.
  • Строительный нож.
  • Рулетка.
  • Уровень.
  • Карандаш.
  • Ёмкость для разведения шпаклевки.
  • Пара шпателей (широкий и узкий)
  • Лист мелкой наждачной шкурки.
  • Валик и кисть.
  • Ванночка для краски.

Материалы, которые нужны для реставрации откосов, нужно приготовить заранее.

  • Гипсокартон (лучше – влагостойкий).
  • Профиль оцинкованный для гипсокартона (CD).
  • Скобы-подвесы для профиля.
  • Дюбели-шурупы для быстрого монтажа.
  • Мелкие саморезы (блошки).
  • Саморезы для гипсокартона (по металлу, 25 мм)
  • Монтажная пена.
  • Перфорированный угол.
  • Грунтовка.
  • Финишная шпаклевка.
  • Водоэмульсионная краска.

Гипсокартонные откосы. С чего начать?

Как сделать откосы из гипсокартона своими руками? Прежде всего необходимо подготовить основание под будущую конструкцию. Если старая штукатурка сильно повреждена, ее необходимо снять до кирпича или бетонной плиты.

Оконные откосы из гипсокартона монтируют на оцинкованный СD-профиль. Но его можно использовать только в том случае, если пространство между окном и стеной, заполненное пеной, не уже, чем толщина профиля.

Для установки профиля крепятся П-образные скобы – подвесы. Их располагают по периметру окна, отступив от рамы примерно 1 см. К бетонной или кирпичной основе скобы крепятся при помощи дюбелей и шурупов быстрого монтажа. К деревянным конструкциям – саморезами. Расстояние между подвесами не должно быть более 50 см.

Фото 1. Устанавливаем подвесы

К скобам-подвесам прикрепляется профиль. Делается это при помощи очень маленьких саморезов, прозванных в народе блошками. Длинные концы подвесов отгибаются.

При установке верхнего профиля вначале закрепляется его середина. Закреплять края можно только убедившись, что направляющая планка выставлена строго горизонтально. На боковом откосе проверяется вертикальная линия. Такую проверку можно сделать с помощью уровня.

Гипсокартон, который будет крепиться к профилю, должен образовывать открывающийся откос. На фото 2 видно, как можно выполнить это условие. Верхний откос нужно было опустить. Поэтому были смонтированы две направляющие полосы из профиля. Дальняя полоса подвешена на 20 мм ниже, чем ближняя.

На боковом откосе пространство не позволило ставить пару профилей. Было принято решение крепить гипсокартон у окна – на профиль, а у стены – без направляющей.

Фото 2. Проверяем по уровню каждый профиль.

Монтируем гипсокартон

Разметить, вырезать и прикрутить верхнюю полосу гипсокартона нужно так, чтобы ближний ее край был вровень с плоскостью стены, а край возле окна не касался рамы, а отступал от нее на 5-10 мм. Прикручивается откос к профилю на саморезы. Шляпки саморезов нужно слегка утопить в гипсокартоне, стараясь не порвать при этом лицевое картонное покрытие.

Боковой откос на фото 3 закреплен с помощью саморезов только к профилю со стороны окна. Ближняя часть этого откоса укреплена с помощью дюбелей и шурупов быстрого монтажа. Перфоратором было просверлено аккуратное отверстие в кирпичной основе прямо сквозь гипсокартон. Крепежный дюбель-шуруп потихоньку забивался молотком. При креплении бокового откоса также был оставлен зазор между ним и рамой.

Гипсокартон, прикрученный к профилям, сохранит горизонтальность и вертикальность, проверенную нами. А вертикальную линию стороны, прибитой к стене, нужно обязательно выровнять.

Фото 3. Гипсокартон образует открывающийся откос.

Пространство между гипсокартоном и основой нужно заполнить монтажной пеной. На фото 4 видно, что большая щель над верхней деталью частично заполнена обрезками гипсокартона. Это сделано не только для экономии пены. Большое количество этого современного наполнителя, расширяясь, способно деформировать и даже оторвать гипсокартонную заготовку.

Во избежание деформации щель под боковым откосом заполнялась пеной в два этапа. Первый раз, точечно, как-бы пунктиром, оставляя пустые места. И через час – второй раз, полностью. Снимок сделан после первого заполнения.

Заполняем пеной зазоры, оставленные нами у окна и щель между боковым и верхним откосом. Теперь нужно дать наполнителю высохнуть, набрать крепости и хорошо зафиксировать все детали.

Фото 4. Осторожно! Слишком много пены способно испортить работу

Излишки просохшей пены нужно обрезать ножом. Все части нашей новой конструкции нужно прогрунтовать.  Когда грунтовка высохнет – можно начинать шпаклевочные работы.

Шпаклевка и лицевая отделка откосов

После обрезки высохшей пены все щели нужно зашпаклевать. Заполняем шпаклевочной массой щель между стеной и плоскостью откоса, возле окна, между вертикальной и горизонтальной плоскостью. Прячем под шпаклевку шляпки саморезов.

Фото 5. Перфоугол подчеркнет линию откоса.

Сделать внешний угол безупречно ровным поможет перфорированный угол. Он вклеивается в свеженанесенную финишную смесь и тщательно прошпаклёвывается.

Фото 6. Осталось только покрасить.

Высохший слой шпаклевки нужно слегка зачистить наждачной шкуркой и еще раз прогрунтовать. После полного высыхания грунтовки откосы можно красить. Отлично смотрится белая матовая акриловая краска на водной основе. Двух слоев будет вполне достаточно, чтобы ваши откосы выглядели идеально.

Чтобы снять защитную пленку с металлопластиковой рамы, ее нужно аккуратно подрезать ножом по линии примыкания откоса к окну.

Как видите, сделать откосы своими руками совсем не сложно. Попробуйте, и у вас получится. Пусть ваш дом будет красивым.

Откосы на межкомнатные двери своими руками как сделать, отделка

После установки или замены межкомнатных дверей между коробом и плоскостью стены остаются щели, заполненные пеной. Чтобы сделанный ремонт выглядел завершенным, а ваше помещение было стильным и красивым, нужно заделать эти щели при помощи создания откосов. Откосом называют часть стены или перегородки, примыкающей к дверной раме. Он может иметь различную ширину, глубину и форму, поэтому универсального способа отделки не существует. Вам предстоит самостоятельно выбрать вариант отделки, исходя из параметров конструкции, личных предпочтений и возможностей.

Вы можете самостоятельно сделать откосы на межкомнатные двери своими руками: для этого вам понадобятся общестроительные навыки и стандартный набор инструментов. В этой статье мы рассмотрим, какие способы отделки бывают, какие у них есть плюсы и минусы, а также кратко разберем технологию обустройства.

Варианты оформления откосов межкомнатных дверей

Современный рынок предлагает множество строительных материалов для отделки откосов. Чтобы выбрать подходящий, вам нужно учитывать общий стиль и дизайн помещения, свои финансовые возможности и имеющиеся строительные навыки. Обычно используются следующие варианты отделки:

  1. Оштукатуривание стен с последующим нанесением финишного слоя.
  2. Установка гипсокартонных вставок.
  3. Установка пластиковых панелей, панелей из МДФ или ЛДСП.
  4. Нанесение слоя декоративной штукатурки.
  5. Отделка щели деревянными наличниками или доборами.
  6. Установка листов ламината.
  7. Отделка искусственным камнем, декоративными кирпичиками.
  8. Отделка плиткой, керамогранитом и пр.

Самыми популярными способами является оштукатуривание с последующей отделкой, монтаж декоративных панелей и облицовка искусственным камнем или керамогранитом.

Оштукатуривание откосов: технология и преимущества

Оштукатуривание поверхности стен и заделка щелей раствором – один из наиболее распространенных вариантов обустройства откоса. К преимуществам такого решения относится:

  1. Высокая прочность. Правильно выполненная штукатурка хорошо держится, не боится физических нагрузок и прослужит вам не менее 15 лет.
  2. Возможность выровнять перепады и заделать щели толщиной до 10 см. При необходимости штукатурку наносят в несколько слоев, что позволяет заделывать даже большие проемы.
  3. Широкие возможности для декорирования. Оштукатуренную поверхность можно покрасить, наклеить на нее обои, нанести декоративную шпатлевку и пр.

Недостатков у этого способа только два: трудоемкость процесса и необходимость наличия определенных навыков. Если вы никогда раньше не штукатурили стены, то идеально выровнять откос будет достаточно сложно из-за его неправильной геометрии.

Оштукатуривание проводится по следующей схеме:

  1. Из имеющегося проема удаляют остатки старой штукатурки, некрепко держащиеся кирпичи, пыль, излишки пены и прочий строительный мусор. Основание под штукатурку должно быть прочным и чистым.
  2. На поверхность наносится грунтовка. Грунт нужен, чтобы удалить остатки пыли и улучшить адгезию.
  3. По уровню устанавливаются маяки, наносится слой штукатурки. После высыхания маяки удаляются, а щели от них заштукатуриваются.
  4. Высохшая штукатурка грунтуется, на нее наносится финишный слой: краска, шпатлевка, обои и пр.

Отделка декоративными панелями

Для отделки откосов межкомнатных дверей можно использовать различные декоративные панели, которые в избытке представлены в строительных магазинах. Для этих целей используют МДФ, пластик, ламинат, ламинированный ДСП и пр. К преимуществам подобного способа относится:

  1. Отсутствие влажных работ, что позволяет производить монтаж даже в неотапливаемых помещениях.
  2. Относительная простота монтажа. Для установки не нужны какие-то навыки или инструменты.
  3. Высокая скорость выполнения работ. Панель имеет большую площадь и полностью закрывает откос с одной стороны.

Из недостатков использования панелей можно выделить их высокую стоимость. Средний срок службы панелей – не менее 10 лет. Процедура монтажа проводится двумя способами: с фиксацией панелей к имеющейся плоскости или к созданному каркасу. Первый вариант используется тогда, когда щели между поверхностью стены и дверным коробом небольшие, и их можно целиком закрыть панелью. Если же щель или отделываемая область шире листа панели, то для их фиксации создают каркас из деревянных направляющих или металлопрофиля. Каркас обшивается либо сразу панелями, либо сначала гипсокартоном, а затем – панелями.

Фиксация листов производится разными способами: при помощи саморезов, на жидкие гвозди или другие вилы клея.

Облицовка декоративным камнем

Прежде чем облицевать откосы декоративным камнем или керамогранитом, нужно подготовить поверхность. Процесс схож с процедурой укладки обычного кафеля: вам нужно выровнять прилегающую к двери плоскость так, чтобы перепады высот составляли меньше 20 мм, удалить проблемную штукатурку, заделать крупные щели или выбоины. Если поверхность сильно кривая или поврежденная, то ее можно выровнять при помощи гипсокартона: его приклеивают на специальный клей или крепят на металлический каркас. Также допускается оштукатуривание откоса, но приступать к наклеиванию камня можно только через пару дней, когда смесь полностью высохнет.

К преимуществам подобного вида отделки относится:

  1. Высокие художественные и декоративные свойства. Искусственный камень отлично смотрится в интерьере и хорошо сочетается с другими отделочных материалов.
  2. Продолжительный срок службы. Если технология соблюдена, то покрытие прослужит вам не менее 15 лет.
  3. Легкость проведения работ. Вам не нужны какие-то особые навыки или инструменты.

Из минусов можно выделить высокую стоимость керамогранита или декоративного камня, а также относительную трудоемкость работ: вам придется приклеивать каждый кирпичик по отдельности.

Технология облицовки выглядит следующим образом:

  1. Подготовка основания: удаление старой краски или обоев, заделка крупных щелей, выравнивание стен.
  2. Нанесение грунтовки. Грунт улучшает адгезию: плитка гарантировано не отвалится под действием силы тяжести или от механических нагрузок.
  3. Производится разметка. Определитесь, как вы будете выкладывать камни, сделайте разметку при помощи уровня и отвеса, чтобы не ошибиться при монтаже.
  4. Нанесите на плитку клей, прислоните ее к поверхности и подержите несколько секунд, чтобы он схватился. Процесс повторяется до тех пор, пока все плитки не будут уложены.

Откосы на окна | Как сделать откосы на окна?

Откосы на окна – это финальная часть при установке новых рам. От них зависит не только красота помещения, но и теплоизоляция. Окно в целом полностью не защищает от холода. Необходимо со всей тщательностью изолировать его, чтобы избежать сквозняков. Когда речь заходит о выборе, очень важно не только знать, как сделать оконные откосы, но и подобрать вид материала для их исполнения.

Как правильно сделать откосы на окнах своими руками

Устанавливать оконные откосы своими руками – достаточно трудоемкий процесс, требующий специального подхода. Однако сделать их возможно, следуя некоторым правилам.

  1. Выбор материала. Чтобы откосы служили долго и выполняли свою функцию, необходимо знать, какой вариант наиболее предпочтительней для того или иного вида.
  2. Место монтажа. Для наружных или внутренних вариантов используются различные технологии и методы утепления.

При правильной установке важно иметь под рукой весь необходимый инструмент для комфортной работы. Под разные материалы могут использоваться различные приспособления. Существует общий набор, который понадобится, независимо от вида работ.

  1. Шпатель для нанесения штукатурки.
  2. Терка для выравнивания поверхности.
  3. Штукатурная лопатка, которая позволит замазывать трещины и углубления.
  4. Уровень, обеспечивающий ровную установку и прокладку материалов.
  5. Выравниватель углов. Этот инструмент позволит провести наиболее ровное и гладкое нанесение штукатурки в углах.
  6. Электродрель. Упростить фиксацию каркасов, профилей и материалов к стене.
  7. Строительный нож. С его помощью можно будет произвести раскрой и удалить излишки монтажной пены с окон. Чем острей инструмент, тем проще с ним работать.
  8. Кисть. Этот предмет должен быть широким, для удобства нанесения грунтовки на поверхности.

Для начала работы необходимо разобраться и уточнить все вопросы, связанные со способами и вариантами отделок, чтобы определиться с тем, как самому сделать откосы на окнах.

Фото @nsdgroup.com.ua_: Откосы своими руками

Как сделать откосы на окнах из штукатурки

Данный способ отделки является традиционным. Откосы окон из штукатурки имеют длительный срок службы и эстетичный вид при правильном нанесении. Существует большое разнообразие фактур, наносимых на поверхность. Ее можно сделать как идеально гладкой, так и создать различные узоры. Однако слой штукатурки не станет хорошей защитой от холода. Для того чтобы исправить это, необходим дополнительный слой утеплителя. В большинстве своем для такого вида отделки используется пенопласт. Он создает защитную подушку и обеспечивает легкость нанесения вещества.

Чтобы ответить на вопрос: «как сделать откосы на окнах и штукатурки?», необходимо понять принцип работы с ней. Весь процесс создания подразумевает под собой грязную и кропотливую работу, требующую определенного опыта. Новичкам справиться с ней будет достаточно проблематично, так как накладывание раствора происходит в несколько слоев, требующих полного высыхания. В среднем весь процесс занимает одну или две недели.

Как сделать откосы на окнах из пенопласта

Данный материал становится популярным из-за:

  • длительного срока службы;
  • простого монтажа;
  • хорошей теплоизоляции;
  • эстетичного внешнего вида.

При установке необходимо, прежде всего, сделать правильную раскройку материала. От качества проведенной работы будет зависеть внешний вид откосов. Перед работой поверхность стены шпаклюется и грунтуется. Это необходимо для лучшей сцепки материала. Пенопласт сажается на клей, но для крепости можно закрепить дюбелями. Затем производится финишная отделка штукатуркой с использованием перфорированных уголков для прочности конструкции.

Фото @nsdgroup.com.ua_: Откосы из пинопласта

Как сделать откосы на окнах из гипсокартона

Этот материал отлично выравнивает поверхность. Поскольку его установка проводится на каркас, необходимо учесть, что он съедает несколько сантиметров от рамы окна. Такой способ позволяет создать дополнительное утепление, изолируя окна от сквозняков.

Как сделать откосы на окнах из гипсокартона? Весь процесс работы не сложный, но требует кропотливости. Он включает в себя:

  • монтаж каркаса;
  • укладка утеплителя;
  • крепеж гипсокартона на саморезы;
  • финишная грунтовка и покраска откосов.

Как сделать откосы на окнах из пластика

Для такой отделки, помимо основного материала, также используются вспомогательные элементы для закрытия стыков на поверхностях и углах. Установка таких откосов наиболее простая и не требует специальных навыков. Рассмотрим, как сделать пластиковые откосы на окнах и что для этого потребуется. Для их создания необходимы:

  • панели;
  • монтажная пена;
  • деревянные реи.

В большинстве квартир при ремонте стараются уходить от деревянных рам. Это связано с тем, что натуральный материал со временем рассыхается, в нем образуются трещины. Это способствует появлению сквозняков и протеканию при дожде. Соответственно, возникает вопрос: «как правильно сделать откосы на пластиковые окна?».

С помощью пластиковой панели можно легко добиться красивого результата и ровной поверхности. Этот материал сажается на деревянный каркас, а промежуток между ним и стеной заполняется монтажной пеной. Такая подушка служит дополнительной защитой от холода и является своего рода утеплителем. Все стыки между панелями и углы закрываются с помощью специальной фурнитуры.

Оконные откосы своими руками при наружных и внутренних работах

Наружная и внутренняя отделки различаются между собой. Они требуют разного подхода при выборе материала, а также способа установки.

Внутренние оконные откосы находятся в самом помещении и несут декоративную функцию. Также они придают герметичности всему оконному проему и уменьшают количество сквозняков.

Наружные откосы выполняют защитную функцию. Без них любая рама будет не только продуваться, но и мокнуть от дождя. Благодаря им обеспечивается термо- и звукоизоляция квартиры, а также защита от перепада температуры в помещении.

Немаловажную роль играют материалы. Если в доме деревянные окна и стены, то лучше всего использовать эти же материалы для откосов. Такой выбор позволит конструкции иметь законченный вид и избежать последующей деформации.

Если установка проходит на кирпичную или бетонную стену, то наиболее простым и надежным вариантом исполнения станет пластик, штукатурка или гипсокартон.

Фото @nsdgroup.com.ua_: Оконные откосы

Как сделать откосы на окнах снаружи

При подборе материала следует учитывать факторы, которые будут влиять на него. При наружной отделке учитываются следующие показатели:

  • устойчивость к низкой температуре;
  • влагонепроницаемость;
  • долговечность;
  • теплоизоляция.

Чтобы ответить на вопрос: «как сделать откосы на окна с улицы?», необходимо разобраться с принципом их установки. Чтобы обеспечить надежную защиту, необходимо проводить качественное утепление. Для него используют следующие материалы:

  • пенопласт;
  • гипсокартон;
  • сэндвич-панели;
  • стекловолокно;
  • минеральную вату.

Саму установку нужно проводить качественно, исключая наличие зазоров и щелей. Это обеспечит наибольшую герметичность и отсутствие возможности возникновения плесени в местах стыков. При использовании пластика его крепеж происходит с помощью клея. Он наносится плотно, без пропусков, для наилучшей фиксации. Дерево для откосов прибивается гвоздями или сажается на саморезы.

Как сделать откосы на окнах внутри помещения

Для обеспечения красивого вида этих элементов важно использовать материалы с ровной поверхностью. Это обеспечит удобство эксплуатации, а окна будут иметь законченный вид.

При оштукатуривании откосов или их покраске лучше всего использовать материалы, которые можно мыть. Такой подход позволит сделать откосы на окна гладкими, содержать поверхности в чистоте, и обеспечит защиту от повреждений.

Стоимость отделки откосов профессионалами

Если сделать откосы на окнах самостоятельно не представляется возможным, можно обратиться к профессионалам. Компания NsdGroup гарантирует качество выполненных работ. Сделать откосы на окнах и ознакомиться с ценами в Киеве можно на сайте компании в соответствующем разделе.

На стоимость выполненных работ влияют следующие показатели:

  • количество окон, подвергающихся отделке;
  • сложность выполнения работы;
  • наличие дизайнерских решений;
  • вид материала, используемого для создания откосов;
  • месторасположение откосов (снаружи или внутри помещения).

Поэтому при ответе на вопрос: «сколько стоит сделать откосы на окнах?», важно понимать, что цена на отделочные работы будет рассчитываться индивидуально.

Также предоставляются услуги дизайнера. С его помощью можно создать уникальный ремонт помещения, который будет соответствовать всем пожеланиям заказчика. Подробное обсуждение планируемых работ исключит нежелательное оформление и использование неподходящей цветовой гаммы.

NsdGroup обеспечивает не только качественные строительные и отделочные работы, но и принимает заявки на ремонт квартир под ключ. Этот вид услуги подразумевает под собой черновую и чистовую отделку с проведением всех коммуникаций.



уклонов и уравнений линий

уклонов и уравнений линий Уклоны и уравнения линий

Полезная информация о линиях

Факт Вы можете использовать этот факт, если знаете:
Формула наклона: две точки на линии
Формула пересечения наклона: y = mx + b наклон и пересечение оси y линии
Формула точечного наклона: y — y 1 = m (x — x 1 ) наклон линии и точка на линии
Параллельные линии имеют одинаковый наклон наклон линии
Наклоны перпендикулярных линий противоположны обратным. наклон линии

Самая сложная часть работы с точками, склонами и линии определяют, какую формулу использовать при решении конкретных задач.Когда вы пытаетесь решить проблему, задайте себе следующие вопросы:

  1. Что я должен найти?
  2. Что я уже знаю?
  3. Какой метод я буду использовать?


В таблице ниже представлены подходящие методы использовать при решении конкретных типов задач.

Что вы хотите найти? Что вы уже знаете? Метод использования
Уклон трассы Координаты двух точек на строка Используйте формулу наклона
Наклон и точка пересечения линии Y Уравнение линии в стандарте форма Запишите уравнение с пересечением наклона форма
Уравнение прямой Наклон линии и точки на этой линии Используйте формулу «точка-наклон»
Уравнение прямой Наклон и точка пересечения прямой Используйте формулу пересечения наклона
Уравнение прямой Координаты двух точек на строка Воспользуйтесь формулой наклона, чтобы найти наклон линии, затем используйте наклон и одну из точек в формула точечного уклона
Уравнение прямой, параллельной заданная строка Уравнение данной параллели линия и точка на вашей линии Напишите уравнение данного линия в форме пересечения наклона, чтобы определить ее наклон, затем используйте ту же самую наклон и ваша точка в формуле наклон-точка
Уравнение перпендикулярной прямой к заданной строке Уравнение данного перпендикуляра линия и точка на вашей линии Напишите уравнение данного линия в форме пересечения наклона, чтобы определить ее наклон, затем используйте противоположный величина, обратная этому уклону и вашей точке в формуле наклона точки

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример 1 Каков наклон линии, проходящей через точки (2,3) и (4, -5)?

Что мы хотим найти? Наклон прямой

Что мы уже знаем? Две точки на линии

Какой метод мы будем использовать? Используйте формулу наклона


Пример 2 Что такое наклон и пересечение по оси Y из 2x — 3y = 5?

Что мы хотим найти? Наклон и пересечение по оси Y

Что мы уже знаем? Уравнение прямой в стандартной форме

Какой метод мы будем использовать? Запишите уравнение в форма пересечения склонов

2x — 3y = 5

— 3y = — 2x + 5

y = 2/3 x — 5/3

Поскольку уравнение теперь имеет форму y = mx + b, мы можем идентифицировать наклон m = 2/3 и точка пересечения по оси y b = -5 / 3


Пример 3 Каково уравнение прямой с наклон — 2, который проходит через (3, -5)?

Что мы хотим найти? Уравнение прямой

Что мы уже знаем? Уклон и точка на линии

Какой метод мы будем использовать? Используйте формулу точечного наклона

м = -2, (x 1 , y 1 ) = (3, -5)

y — y 1 = m (x — x 1 )

у — -5 = -2 (х — 3)

y + 5 = -2x + 6

y = -2x + 1


Пример 4 Каково уравнение прямой с наклон 3/4 и пересечение по оси y — 3?

Что мы хотим найти? Уравнение прямой

Что мы уже знаем? Наклон и пересечение по оси Y

Какой метод мы будем использовать? Использовать пересечение уклона формула

м = 3/4, б = -3

y = mx + b

у = 3/4 х + -3

y = 3/4 x — 3


Пример 5 Каково уравнение линии, содержит точки (3,4) и (1, -2)?

Что мы хотим найти? Уравнение прямой

Что мы уже знаем? Две точки на линии

Какой метод мы будем использовать? Используйте формулу наклона чтобы найти наклон линии, затем используйте наклон и одну из точек в формуле точечного наклона

Теперь используем одну из точек и наш наклон в точке-наклоне. формула:

кв.м. = 3

y — y 1 = m (x — x 1 )

у — 4 = 3 (х — 3)

г — 4 = 3х — 9

y = 3x — 5

Пример 6 Найдите уравнение прямой, проходящей через (-1, 4) и параллельно 3x-y = 5. Что мы хотим найти? Уравнение прямой

Что мы уже знаем? Точка на нашей линии и уравнение линии, параллельной нашей линии

Какой метод мы будем использовать? Напишите уравнение заданная линия в форме пересечения наклона, чтобы определить ее наклон, затем используйте тот же уклон и ваша точка в формуле угла наклона

3х — у = 5

— у = — 3х + 5

у = 3х — 5

m = 3, b = — 5

Значит, наклон данной прямой равен 3.

Параллельные линии имеют одинаковый наклон, поэтому наклон нашей строка тоже 3.Наша линия также проходит через точку (-1,4), поэтому мы напишем уравнение с формулой точечного наклона.

y — y 1 = m (x — x 1 )

у — 4 = 3 (х — — 1)

у — 4 = 3 (х + 1)

у — 4 = 3х + 3

y = 3x + 7


Пример 7 Найдите уравнение прямой, проходящей через (4, -1), которая перпендикулярна 4x + 3y = 2

Что мы хотим найти? Уравнение прямой

Что мы уже знаем? Точка на нашей линии и уравнение линии, перпендикулярной нашей линии

Какой метод мы будем использовать? Напишите уравнение заданная линия в форме пересечения наклона, чтобы определить ее наклон, затем используйте обратная величина, обратная этому уклону и вашей точке в точечном уклоне формула

4х + 3у = 2

3 года = — 4x + 2

у = — 4/3 х + 2/3

м = — 4/3, b = 2/3

Перпендикулярные линии имеют наклоны, противоположные обратным, таким образом, наклон нашей линии противоположен -4/3 или 3/4.Наш линия также проходит через точку (4, -1), поэтому мы напишем уравнение с формула точечного наклона.

y — y 1 = m (x — x 1 )

у — — 1 = 3/4 (х — 4)

у + 1 = 3/4 х — 3

y = 3/4 x — 4















Промежуточная алгебра
Урок 15: Наклон прямой

WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория> Алгебра среднего уровня

Цели обучения


После изучения этого руководства вы сможете:
  1. Найдите наклон по графику, двум точкам или уравнению.
  2. Напишите линейное уравнение в форме наклона / точки пересечения.
  3. Определите, параллельны ли две прямые, перпендикулярны или нет.

Введение



В этом руководстве мы немного углубимся в линейную уравнения. Мы будем смотреть на наклон линии. Мы также рассмотрим в соотношение между наклонами параллельных линий, а также перпендикуляр линий. Посмотрим, что можно делать со склонами.

Учебник




Наклон линии измеряет крутизну линия.

Большинство из вас, вероятно, знакомы с ассоциацией наклона с «подъемом» за пробег ».

Повышение означает, на сколько единиц вы продвинетесь или вниз от точки к точка. На графике это будет изменение на значений и .

Run означает, насколько далеко вы двигаетесь влево или вправо от точки к точке. На графике это будет означать изменение на x значений .


Вот несколько иллюстраций, которые помогут вам в этом определение:

Положительный наклон:

Обратите внимание, что когда линия имеет положительный наклон, она идет вверх слева направо.


Отрицательный наклон:

Обратите внимание, что когда линия имеет отрицательный наклон, она идет вниз слева направо.


Нулевой наклон:

наклон = 0

Обратите внимание, что, когда линия горизонтальна, наклон равен 0.


Неопределенный уклон:

наклон = не определено

Обратите внимание, что, когда линия вертикальная, наклон неопределенный.





Формула наклона с двумя точками

С учетом двух очков и


Нижние индексы просто указывают, что это два разные точки. Неважно, какой из них вы называете точкой 1, а какой — точка 2 при условии, что вы последовательны в решении этой проблемы.

Обратите внимание, что мы используем букву м для обозначения склон.

Пример 1 : Найдите наклон прямой, проходящей через (-5, 2) и (4, -7).



* Вставьте значения x и y в формулу наклона

* Упростить


Будьте осторожны когда один из ваши значения отрицательны, и вы должны вычесть их, как мы это делали в строке 2. 4 — (-5) не то же самое, что 4-5.

Наклон прямой равен -1.



Пример 2 : Найдите наклон прямой, проходящей через через (1, 1) и (5, 1).

* Вставьте значения x и y в формулу наклона

* Упростить


Нулевой числитель — это нормально.Помнить что 0 разделено на любое ненулевое число равно 0.

Наклон прямой 0.



Пример 3 : Найдите наклон прямой, проходящей через (3, 4) и (3, 6).

* Вставьте значения x и y в формулу наклона

* Упростить


Поскольку у нас не было изменений в значениях x , знаменатель нашего наклона стал 0.Это означает, что мы имеют неопределенный уклон . Если бы вы изобразили линию, Это будет вертикальной линией, как показано выше.

Наклон линии не определен.


Уравнение наклона / пересечения Строка


Если ваше линейное уравнение записано в этой форме, м представляет наклон, а b представляет y — перехват.

Эта форма может пригодиться, если вам нужно найти уклон строка дана уравнение.




Функциональная запись
Уравнение наклона / пересечения прямой


м все еще обозначает уклон и b по-прежнему представляет собой точку пересечения y .


Пример 4 : Найдите наклон и точку пересечения y линии.

Как упоминалось выше, если уравнение находится в наклон / пересечение форма , мы легко можем увидеть, что наклон и — перехват находятся.

Пойдем дальше, выйдем на склон / перехват форма первая:



* Под. 3x и прибавить 6 к обеим сторонам

* Инверсная по отношению к мульт. на 3 — div. по 3

* Записывается в форме наклона / пересечения


Выровняйте форму по полученному уравнению, можете ли вы посмотри какой наклон а y-перехват есть?

В данном виде уклон м , какой число перед x.В нашей проблеме это должно быть -1.

В этом виде y -перехват равно b , что является константой. В нашей проблеме это было бы быть 2.

Ответ: наклон равен -1, а точка пересечения оси Y равна 2.




Пример 5 : Найдите наклон и точку пересечения и . линии.

Этот пример написан в функциональной нотации, но все еще линейный. Как показано выше, вы все еще можете считывать данные вне наклона и пересекать с это способ написания.

В этом примере это уже записано в форма наклона / пересечения, так что нам не нужно возиться с этим.Мы можем перейти к бизнес и ответим на наш вопрос, что такое наклон и — перехват.



* Записывается в форме наклона / пересечения


Сопоставьте форму с полученным уравнением, можете ли вы посмотри какой наклон а y-перехват есть?

В данном виде уклон м , какой число перед x.В нашей проблеме это должно быть 2.

В этом виде y -перехват равно b , что является константой. В нашей проблеме это было бы быть -1.

Ответ: наклон равен 2, а точка пересечения оси Y равна -1.


Пример 6 : Найдите наклон и точку пересечения и строки x = 5.

Поскольку это особый тип линейного уравнения, не может быть написано в форме наклона / пересечения я покажу вам, что происходит, а затем давайте посмотрим, сможем ли мы вычислить наклон и y — перехват.

График будет выглядеть так:


Сначала поговорим о наклоне.Обратите внимание, что все значения x на этом графике — 5. Это означает изменение x , что является знаменателем формулы наклона, будет 5 — 5 = 0. Ну, вы знаете, что иметь 0 в знаменателе — это большое нет, нет. Это означает, что наклон не определен. Как показано выше, всякий раз, когда ты иметь вертикальную линию, ваш наклон не определен .

Теперь давайте посмотрим на интервал y . Глядя на график, вы можете видеть, что он никогда не пересекает ось y , поэтому нет y -перехват или. Другой способ взглянуть на это — значение x . должно быть 0 при поиске перехвата y и в этой задаче x всегда 5.

Итак, несмотря на все наши усилия по решению этой проблемы, мы обнаружили, что наклон undefined и перехват y не существовать.




Пример 7 : Найдите наклон и точку пересечения и . строки y = -2.

Поскольку это особый тип линейного уравнения, не может быть написано в форме наклона / пересечения я покажу вам, что происходит, а затем давайте посмотрим, сможем ли мы вычислить наклон и y — перехват.

График будет выглядеть так:


Сначала поговорим о наклоне. Обратите внимание, как все из y значений на этом графике равны -2. Это означает изменение на , числитель формулы наклона будет -2 — (-2) = 0.Имея 0 в числителе и ненулевое число в знаменателе означает только одна вещь. Наклон равен 0.

Теперь давайте посмотрим на интервал y . Глядя на график, вы можете видеть, что он пересекает ось и . в (0, -2). Таким образом, точка пересечения по оси Y равна (0, -2).

Наклон 0 и пересечение y является -2.


Параллельные линии и их уклоны

Другими словами, наклон параллельных прямых одинаковый.

Обратите внимание, что две строки параллельно, если есть склоны равны и имеют разные y -перехватывания.


Перпендикулярные линии и их Склоны

Другими словами, перпендикулярно уклоны отрицательные взаимны друг с другом.



Пример 8 : Определите, параллельны ли линии, перпендикуляр, или ни то, ни другое. а также .

Чтобы эти линии были параллельны их наклонам хотел бы быть равными и быть перпендикулярными, они должны быть отрицательными взаимные друг друга.

Итак, давайте выясним, какие бывают уклоны. Поскольку уравнения уже в форме наклона / пересечения, мы можем посмотреть на них и увидеть отношение между склонами. Что вы думаете? Склон первое уравнение 7 и наклон второго уравнения является 7 .

Так как два уклона равны и их y -пересекаются различны, две линии должны быть параллельны.




Пример 9 : Определите, параллельны ли линии, перпендикуляр, или ни то, ни другое. а также .

Опять же, уравнения уже находятся в наклоне / пересечении форма, так что давайте идите прямо к поиску откоса.Что ты нашел?

Я обнаружил, что наклон первого уравнения равен 4, и наклон второго уравнения равен -1/4. Так что это иметь в виду?

Поскольку два наклона являются отрицательными, обратными каждому другой, две линии будут перпендикулярны друг другу.




Пример 10 : Определите, параллельны ли линии, перпендикуляр, или ни то, ни другое.а также .

Запись первого уравнения в наклон / точку пересечения форму получаем:



* Инверсия сложения 10 x — sub. 10 x
* Записано в форме наклона / пересечения


Запись второго уравнения в наклон / точку пересечения форму получаем:



* Инверсия сложения 4 x — sub.4 х

* Инверсная по отношению к мульт. на 2 — div. по 2

* Записано в форме наклона / пересечения


Чтобы эти линии были параллельны их наклонам хотел бы быть равными и быть перпендикулярными, они должны быть отрицательными взаимные друг друга.Итак, давайте выясним, какие бывают уклоны. С уравнения теперь в форме наклона / пересечения, мы можем посмотреть на них и увидеть взаимосвязь между наклонами. Что ты считать?

Наклон первого уравнения равен -10 и наклон второе уравнение -2.

Так как два уклона не равны и не равны отрицательные обратные друг друга, то ответ будет ни то, ни другое.




Практические задачи

Это практические задачи, которые помогут вам следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает так же, как что-нибудь иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться Это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте. На самом деле не бывает слишком много практики.

Чтобы получить максимальную отдачу от них, вы должны работать проблема на свой собственный, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответ / обсуждение для этой проблемы .По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.

Практика Задача 1a — 1b: Найдите наклон прямой что проходит через данные баллы.

Практика Задачи 2a — 2c: Найдите наклон и пересечение y линии.

Практика Задачи 3a — 3b: Определите, параллельны ли линии, перпендикуляр, или ни то, ни другое.

Практика Задача 4a: Определите наклон линии.


Нужна дополнительная помощь по этим темам?





Последний раз редактировал Ким Сьюард 3 июля 2011 г.
Авторские права на все содержание (C) 2001 — 2011, WTAMU и Kim Seward.Все права защищены.

11 действий, упрощающих определение уклона

Teaching slope — одна из основополагающих тем, которую мы преподаем в средних классах. Если мы не сделаем это правильно с первого раза, нам придется долго догонять. Мой ранний опыт преподавания склона был разочаровывающим, потому что я не понимал, что усложняло его для студентов. Учащиеся должны уметь находить уклон в таблице, графике, двух координатных точках, словесном описании и в уравнении.Когда вы их все разложите и пересчитаете, нужно понять множество вещей. Раньше я заходил слишком далеко, слишком быстро. Я имею в виду, подумайте об этом. Когда дети научились считать, у них были годы, чтобы уменьшить их количество. Я мог набраться терпения и потратить необходимое время, чтобы заложить им прочную основу с уклоном.

На этом этапе я обучаю наклону отдельно (без введения точки пересечения по оси Y) и знакомлю студентов с тем, что он представляет, как идентифицировать его в различных представлениях, а затем предлагаю им сравнить наклоны.Если они будут использовать это в качестве основы, все будет работать более гладко, когда мы дойдем до формы пересечения наклона. Мы начинаем наше приключение на склоне с исследовательской лаборатории. После лаборатории открытий мы приступаем к различным практическим занятиям. Помните, что существует 5 представлений и 4 типа уклона. Им нужно много практики.

Вот 11 занятий по определению уклона:

Лабиринт на склоне

Склонный парень

Сравнение игры на выбывание на склоне

Манга High Slope Онлайн игра

Проект чертежа названия откоса

Шмооп Видео

Игра подбора склонов

Уклон

с карточками координатных точек и листом уклона

Академия Хана: тренировка на графике и тренировка на двух точках

Поиск уклона на столе Примечания и практика

Сможете ли вы найти игру на склонах?

Давайте копаем в

Даже если у вас нет времени на выполнение всех этих действий на своем склоне, их можно использовать в качестве звонарей, губок, домашних заданий и циклических обзоров.Каждое из этих упражнений помогает практиковать различные аспекты склона и имеет разные сильные стороны. Давайте посмотрим, что каждый из них может предложить.

Обожаю лабиринты. В моем классе мы начинаем почти каждый день с лабиринта. Студенты любят их, и они не очень устрашающие. По пути они хватаются за лабиринт и сразу же приступают к работе. После посещения я проверяю их лабиринты. Как только они заканчивают, я обычно поручаю им поработать над подсказкой анализа ошибок в задней части лабиринта.

Этот конкретный набор лабиринтов включает три лабиринта для определения уклона.В нем есть один лабиринт для таблиц (см. Ниже), один для графиков и один для словесных описаний (см. Выше). Я использую его во время измерения наклона, а затем снова в течение года в качестве циклического обзора. Если вы подождете несколько месяцев и снова воспользуетесь тем же лабиринтом, учащиеся не запомнят оригинал. Сами лабиринты легко проходить, и вы можете очень быстро увидеть, кто их получает, а кто нет. Я заставляю их делать свою работу на доске, пока они ищут путь через лабиринт. Эти лабиринты можно использовать с любой степенью готовности.

Хотите БЕСПЛАТНЫЙ математический лабиринт для средней школы каждый месяц на ваш почтовый ящик? Присоединяйтесь к эксклюзивному клубу «Лабиринт месяца» и получайте БЕСПЛАТНЫЕ лабиринты, которых вы больше нигде не найдете! Вы получите бесплатный лабиринт с целыми числами сразу после регистрации, а затем сможете похвастаться всем своим друзьям и семье, что вы являетесь частью самого крутого клуба учителей математики в средней школе!

Склонный чувак

Честно говоря, Slope Dude — один из моих любимых способов что-то вспомнить. Какой умный способ запомнить четыре типа склонов.Это рисунок лица, на котором показаны четыре разных типа уклона. Вы можете увидеть это на иллюстрации ниже. Вы можете попросить учащихся нарисовать это в своих тетрадях и объяснить друг другу.

Так ученики запоминают четыре типа склонов. Кроме того, это действительно помогает им держать в уме нулевой наклон и неопределенный наклон. Если вы раньше не пользовались каким-нибудь уклоном, я бы очень посоветовал вам попробовать.

Игры на выбывание — это интерактивные игры, в которые вы играете всем классом.Вы показываете это на диапроекторе, и ученики выбирают вопросы. Они делают работу на доске, и вы просите их показать вам свою работу. Дети действительно увлекаются, потому что у них есть бонусы, которые могут быть хорошими или плохими. Они получают удовольствие от потери всех своих очков. Я не могу объяснить почему, но им это нравится.

В этой конкретной игре, «Сравнение склонов с выбиванием», есть вопросы о сравнении склонов в различных формах. Я сделал эту игру, чтобы закрепить некоторые основы склона.Некоторые вопросы заполняют пропуски и заставляют учащихся по-настоящему задуматься о том, что представляет собой уклон. Другие вопросы имеют две формы функций, и учащиеся должны определить, какой наклон больше. Есть множество вопросов, и игра в эту игру поможет вам понять, где учащиеся обладают этим навыком. Мне очень нравится играть это как обзор для теста. Это дает нам шанс развеять некоторые заблуждения.

Эта игра на склонах из манги High даст вашим ученикам возможность самостоятельно практиковать склоны и содержит множество типов вопросов.Перед тем, как приступить к игре, учащиеся могут ознакомиться с кратким руководством. Им не обязательно делать учебник, но он отлично подходит для циклического обзора. Играя, вы продвигаетесь к разным уровням. Многим ученикам нравится играть в этот тип игр, и они мгновенно дают им обратную связь о том, как у них дела.

Студенты могут играть в эту игру без входа в систему, и вы можете попросить их прислать вам скриншот того, как они это сделали. Еще один способ запечатлеть, как они это сделали, — просто попросить учащихся показать вам свой экран.Я считаю, что небольшая ответственность имеет большое значение.

Когда я наткнулся на это упражнение со склоном из Math Equals Love, я подумал: «Почему я не подумал об этом?» Это так просто, и дает студентам осмысленный способ практиковать четыре типа наклона. Учитель из сообщения в блоге предлагает ученикам выполнить это задание в своей интерактивной записной книжке. Думаю, это отличная идея. В этом году я буду впервые заниматься этим проектом, и я планирую, чтобы студенты завершили его в качестве предварительного набора в своих INB.

Чтобы выполнить задание по рисованию откоса, ученики рисуют свои имена линиями с положительным, отрицательным, нулевым или неопределенным наклоном. Они окрашивают разные линии и имеют один цвет для каждого типа уклона. Мои ученики любят рисовать, и почему-то они, кажется, одержимы написанием своего имени в этом возрасте. Более того, это дает отличную возможность попрактиковаться в ключевой лексике для разговора о наклоне. Эта идея такая простая, но такая эффективная.

Если вы не знакомы с видео Shmoop, это отличное видео для начала.Это короткое видео, в котором необычным образом объясняются основы уклона. В этом видео основное внимание уделяется тому, что такое уклон в целом и что это такое в математическом смысле. Они показывают разные примеры и показывают математику.

Я бы посоветовал дать ученикам что-нибудь ответить, пока они смотрят видео. Для этого видео вы можете использовать следующие вопросы:

-Какая формула для нахождения наклона при двух точках?

-Какая буква используется для обозначения наклона?

-Почему они используют гору в качестве примера склона?

Вы можете попросить учащихся посмотреть видео несколько раз.Обычно я не прошу их ничего записывать с первого раза. Затем они отвечают на вопрос во время второго просмотра видео.

Иногда мне немного надоедает работа с бумагой и карандашом. Вот почему мне нравится эта игра на соответствие склонов. У учащихся есть набор карточек, и они должны сопоставить уравнения и графики с одинаковым наклоном. Он хорошо работает в моей лаборатории математики. Также эта игра отлично подходит для циклического обзора. У меня он уже готов в мусорном ведре, и когда ученики заканчивают работу раньше, они могут играть в эту игру.

Я нашел эти два бесплатных занятия в блоге Math in the Middle. У нее 32 карты с упорядоченными парами. С этими карточками можно сделать два увлекательных занятия. В первом учащиеся вместе вычисляют наклон линии, пересекающей их две точки. Это отлично подойдет в качестве упреждающего набора или практического занятия. Вторая идея упражнения включает в себя бесплатный рабочий лист для сопряжения с 32 карточками. Студенты ходят по комнате, чтобы найти упорядоченные пары, образующие линию с заданным наклоном.В этом сообщении блога есть подробные инструкции по этим действиям, а также две бесплатные загрузки.

Мы нечасто используем Академию Хана в моем классе, но если вы хотите попрактиковаться в определении уклона, то упражнения «Уклон на графике» и «Уклон от двух точек» определенно подходят для этого. Эти действия довольно просты и включают примеры как графиков, так и координатных точек. Кроме того, если учащимся нужно еще одно объяснение наклона, они могут посмотреть прилагаемые видеоролики.

В блоге Scaffolded Math and Science вы можете найти бесплатную игру-головоломку.Вы должны сопоставить разные изображения с одинаковым уклоном. Это привлекает студентов гораздо больше, чем выполнение того же самого на рабочем листе. Кроме того, вы можете попросить партнеров поработать вместе над этим занятием. Когда они будут работать вместе, у вас будет больше разговоров по математике. Проверить это.

Я люблю игру Угадай, кто? Мы играли в нее в детстве, и я был рад принести ее в мир математики. В его основе «Угадай, кто»? это просто игра о характеристиках, поэтому она идеально подходит для склона. В Сможете ли вы найти склон? Учащиеся игры вытягивают карту, и это их изображение наклона.Человек, с которым они играют, также берет карту. Затем они по очереди задают вопросы, чтобы попытаться исключить представление уклона со своей доски, когда они пытаются выяснить карту другого человека (я прошу студентов положить свои доски в рукав для сухого стирания и по ходу вычеркивать исключенные варианты. Затем вы также можете переиграть с теми же досками, просто вытягивая новую карту). По сути, это похоже на двухстороннюю игру в 20 вопросов. Выигрывает тот, кто первым вычислит карту другого человека.

Эта игра отлично подходит для того, чтобы научить детей говорить о математике. Вы захотите смоделировать типы вопросов, которые им следует задавать. Если вы этого не сделаете, они будут задавать нематематические вопросы, и это не принесет никакой пользы. Обычно я провожу раунд игры, в котором весь класс играет против меня. Это дает им хорошую базу для игр. Затем я их освободил! Это интересный способ попрактиковаться в различных представлениях наклона.

Попробуйте одно…

Я знаю, что иногда кажется, что идей так много, а времени так мало.Просто попробуйте то, чего вы раньше не делали. Вам не нужно менять все, что вы делаете, но вы можете найти тот вид деятельности, который вам понравится. Например, я использую игры на выбывание каждые несколько недель, потому что они работают только с моими детьми. Мы используем лабиринт практически каждый день, потому что он заставляет детей работать над математикой, когда они входят в дверь. Не бойтесь найти занятие, которое вам нравится, и использовать его снова и снова с разными темами. Найдите то, что подходит вам и вашим ученикам, и сделайте свой класс незабываемым!

Большое спасибо за чтение! До скорого!

Связанные

Модели со случайным уклоном | Центр многоуровневого моделирования

Стенограмма презентации моделей случайных склонов, Ребекка Пиллинджер

С учетом разных уклонов между группами

Мы видели, как модели случайных перехватов позволяют нам включать независимые переменные, и мы увидели, что, как и в модели компонентов дисперсии, в модели случайных перехватов каждая группа имеет линию, и мы увидели, что все групповые линии имеют одинаковые наклон как общая линия регрессии.И помните, что это верно и для модели компонентов дисперсии, потому что в этом случае все линии были плоскими, у них просто был наклон 0. Итак, для модели случайного пересечения в каждой группе влияние объясняющей переменной на ответ то же самое, и это фактически одно из предположений модели случайного перехвата.

Но всегда ли это актуально?

Модель случайного пересечения, адаптированная к данным примера

Что ж, вот возможная ситуация, которая у нас может быть, у нас есть некоторые точки данных, и мы можем представить, что это результаты экзаменов для учеников в школах, поэтому по оси x у нас есть предыдущий результат экзамена, а также По оси y у нас есть оценка экзамена в возрасте 16 лет, и мы хотим подогнать модель случайного перехвата к этим данным.

Итак, вот наша модель случайного перехвата, и мы подгоняем ее к нашим данным, и чтобы лучше понять, насколько хорошо эта модель соответствует данным, мы просто выделим четыре группы и рассмотрим их. Итак, если мы посмотрим на красную группу, здесь вы можете увидеть, что для этой группы точки следуют за линией с более крутым наклоном, чем линия группы, которую мы нарисовали, и снова для темно-синей группы точки кажется, следует линии с более крутым уклоном, чем линия группы, которую мы нарисовали.С другой стороны, для голубой группы точки, кажется, следуют за линией с меньшим наклоном, чем линия группы, которую мы нарисовали. И для зеленой группы точки, кажется, следуют за линией с более пологий уклон, чем проведенная нами групповая линия.

Допуск равных уклонов

Итак, для этих данных для некоторых групп объясняющая переменная имеет большое влияние на ответ, а для других — незначительное. Итак, очевидно, что модель случайных перехватов с ее параллельными групповыми линиями не очень хорошо справляется с подгонкой данных.

Итак, это все хорошо в теории, но вы можете задаться вопросом, действительно ли это происходит на практике? Что ж, на самом деле, как раз в том примере, который мы рассматривали, когда ученики в школах, ответившие на результат экзамена, а объясняющая переменная — результат предыдущего экзамена, некоторые исследователи обнаружили, что их данные ведут себя следующим образом. Таким образом, в некоторых школах предварительное тестирование имеет большое влияние на реакцию, а в других — меньше. Но с другой стороны, другие исследователи с точно такой же ситуацией, ученики в школах; ответ: результат экзамена; объясняющая переменная: результат предыдущего экзамена, выяснили, что для их данных модель случайных перехватов идеально подходит: не похоже, что связь между объясняющей переменной и ответом различается для разных школ.Также важно помнить, что для некоторых наборов данных мощности в любом случае достаточно, чтобы соответствовать модели случайных перехватов. Итак, это говорит нам о том, что иногда модель случайного перехвата хорошо подходит для данных, и мы не хотим смотреть дальше, это вполне адекватно, но в других случаях модель случайного перехвата не подходит, и нам нужно что-то еще.

Итак, для данных, которые мы только что рассмотрели, нам действительно нужна модель, которая выглядит вот так.

Итак, это модель случайных уклонов, и мы также можем раскрасить другие группы.Вы можете видеть, что это на самом деле соответствует данным лучше, чем модель случайного перехвата, потому что вы можете видеть, например, для красной группы, линия группы теперь, похоже, имеет тот же наклон, что и линия, по которой следуют точки, и для со светло-голубой группой линия группы, кажется, имеет тот же наклон, что и линия, по которой следуют точки, и такой же для всех других групп. И мы также можем удлинить эти групповые линии, модель не указывает, какова длина этих линий, они расширяются бесконечно, но, как вы можете видеть, рисование их таким образом выглядит немного сложным и запутанным, это довольно сложно посмотреть, что там происходит.Поэтому мы в большинстве случаев не будем расширять линии, когда будем рисовать их на будущих слайдах.

Модель случайных спусков

Так в чем разница между моделью случайного перехвата и моделью случайного наклона?

Что ж, в отличие от модели случайного пересечения, модель случайного наклона позволяет каждой групповой линии иметь разный наклон, а это означает, что модель случайного наклона позволяет независимой переменной иметь различный эффект для каждой группы. Это позволяет отношениям между независимой переменной и ответом быть разным для каждой группы.Так как же добиться этого с помощью уравнения модели? Что мы делаем, так это добавляем случайный член к коэффициенту x 1 , чтобы он мог быть разным для каждой группы. Итак, для модели случайного перехвата у нас есть β 0 , у нас есть β 1 x 1 , у нас есть u 0 и у нас есть e 0 . Для модели случайного наклона мы добавили u 1 x 1 . Это u 1 отличается для каждой группы, поэтому это означает, что этот коэффициент отличается для каждой группы.Это означает, что отношения между x 1 и y различны для каждой группы. Однако обычно мы фактически перестраиваем это уравнение, поэтому мы умножаем эту скобку, и β 1 x 1 входит в фиксированную часть модели, а u 1 x 1 входит в случайную часть модели. Теперь обратите внимание, что на самом деле мы ввели только одну дополнительную вещь в эту модель, по сравнению с моделью случайного перехвата, мы представили только эту и 1 , но на самом деле у нас есть два дополнительных параметра для оценки, мы ‘ У нас есть σ u 01 , и у нас есть σ 2 u 1 , и к этому мы скоро вернемся.

Итак, как наши u 1 и наши u 0 выглядят в нашей модели случайных уклонов?

Что ж, наш u 0 выглядит точно так же, как и для модели случайного перехвата, это все еще разница между перехватом для всей строки и перехватом для групповой линии, так что здесь разница только в этом. u 1 — это разница между наклоном для общей линии и наклоном для групповой линии.Итак, чтобы иметь возможность лучше видеть, что такое u 1 , мы на самом деле слегка нарисовали здесь линию, параллельную общей линии. На самом деле это не часть модели, мы только что нарисовали ее, чтобы было легче увидеть, что такое u 1 . Итак, для этой линии с тем же наклоном, что и для общей линии: ну, наклон равен β 1 , так как он совпадает с наклоном всей линии, а u 1 — это разница между наклоном для общая линия и наклон групповой линии.Таким образом, наклон групповой линии такой, так что u 1 — это разница между наклоном групповой линии и наклоном всей линии. Если мы теперь посмотрим на голубую группу, снова u 0 — это разница между точкой пересечения для всей линии и точкой пересечения для линии группы, эта разница здесь, а теперь для этой группы линия группы имеет более пологий склон, чем общая линия

(мы снова нарисовали линию, параллельную общей линии, чтобы вы могли легко сравнить).И снова для всей линии наклон равен β 1 . Теперь, поскольку групповая линия имеет более пологий наклон, нам фактически нужно снова вернуться вниз, чтобы получить наклон групповой линии, поэтому здесь мы имеем отрицательное значение u 1 .

Интерпретация параметров

Итак, как мы интерпретируем параметры?

Ну, β 0 и σ 2 e 0 можно интерпретировать так же, как и для модели случайных перехватов, поэтому β 0 все еще остается перехватом общая линия, σ 2 e 0 по-прежнему является дисперсией уровня 1. β 1 теперь — это наклон средней линии, поэтому это среднее изменение (это среднее значение по всем группам) в y для изменения на 1 единицу в
x 1 . σ 2 u 0 , σ 2 u 1

и σ u 01

немного сложнее интерпретировать. В основном σ 2 u 1 — разница в наклонах между группами; σ 2 u 0 — это дисперсия в перехватах между группами — и это означает, что это также дисперсия уровня 2, когда x = 0; σ u 01 — ковариация между пересечениями и наклонами.Но мы не можем интерпретировать их по отдельности, мы должны интерпретировать их все вместе, и мы объясним, почему это так, после того, как посмотрим, что означает эта ковариация между пересечениями и наклонами.

Ковариация между пересечениями и откосами

Итак, вот один пример модели случайных уклонов. Так что это не те данные, на которые мы смотрели раньше.

Итак, в этом конкретном случае [ см. График (a) ], линии показывают модель разветвления, они более плотно сгруппированы здесь и более разбросаны здесь.Таким образом, в этом конкретном случае линии, которые здесь имеют большие пересечения, также имеют большие уклоны, поэтому линии с большими u 1 , большие уклоны имеют большие u 0 , большие пересечения. Итак, если мы построим точки пересечения с наклонами, вы увидите эту модель положительной корреляции, поэтому в этом случае σ u 01 положительно.

В этой ситуации [ см. График (b) ], у нас снова есть некоторые другие данные, линии показывают схему разветвления, поэтому в этом случае линии с большим наклоном, больше u 1 , имеют меньшие точки пересечения, меньшие u 0 , и снова, если мы нанесем точки пересечения на наклоны, теперь σ u 01 будет отрицательным.

Третья возможность [ см. График (c) ], опять же с некоторыми другими данными, заключается в том, что линии не показывают шаблона, поэтому в этом случае, если мы посмотрим на линии с большими пересечениями, мы не можем сказать, что они имеют большие уклоны или меньшие уклоны: похоже, нет связи между пересечениями и уклонами, и если мы снова построим пересечения с уклонами здесь, вы увидите, что, похоже, нет никакой закономерности. Таким образом, в этом случае
σ u 01 равно 0.

Итак, вам может быть интересно, а что насчет модели случайных перехватов, почему мы не говорили об этом, когда рассматривали модель случайных перехватов? Что ж, для модели случайных перехватов [ см. Верхнюю середину графика ], все линии имеют одинаковый наклон, они параллельны, независимо от точки пересечения, поэтому фактического изменения наклона нет (мы можем увидеть, что если мы построим график опять же пересечения с наклонами, есть только одно значение наклона), поэтому в данном случае нет смысла брать ковариацию между пересечениями и наклонами, и в любом случае трудно понять, как мы можем оценить σ u01 потому что у нас в этой модели нет u 1 .Таким образом, нет смысла оценивать ковариацию между пересечениями и наклонами, и мы не оцениваем ее.

Опять же, для одноуровневой модели [ см. График вверху слева ], есть только одна линия для одноуровневой модели, у нас есть только общая линия регрессии, и снова, если мы построим пересечения с наклонами, вы увидите, что мы у меня только одна точка, поэтому опять же нет смысла брать ковариацию между пересечениями и наклонами, в любом случае у нас нет u 0 или u 1 для этой модели, поэтому трудно посмотрим, как мы можем оценить σ u01 .Для одноуровневой модели мы также не оцениваем ковариацию между пересечениями и наклонами.

Подводя итог, для одноуровневых моделей или моделей случайных перехватов ковариация между перехватами и наклонами не имеет никакого смысла, и мы не оцениваем ее. Для моделей со случайным уклоном σ u01 положительный означает шаблон разветвления, σ u01 отрицательный означает шаблон разветвления и σ u0 1 = 0 означает отсутствие шаблона.Итак, хорошо, в этой ситуации для всех наших различных наборов данных у нас была общая взаимосвязь между независимой переменной и положительным ответом, у нас было положительное значение β 1 . Вы можете увидеть это, если посмотрите на общую линию, которая является более толстой линией в середине каждого из этих графиков.

Что делать, если β 1 было отрицательным?

Ну, вот ситуация, когда β 1 отрицательно, и на самом деле оказывается, что связь между этой ковариацией и паттерном точно такая же, так что все же для моделей со случайным наклоном σ u01 положительный шаблон разветвления, по-прежнему σ u01 отрицательный — это шаблон разветвления, и все еще σ u01 = 0 не является шаблоном.

Масштаб

x

Хорошо, теперь мы переходим к вопросу о масштабе x , потому что это на самом деле оказывается весьма уместным при интерпретации этой ковариации. Когда мы собираем или анализируем данные, мы всегда выбираем шкалу измерения x . Это предполагает два варианта: во-первых, какие единицы измерения, например, будем ли мы измерять рост в сантиметрах или метрах? И, другими словами, насколько велика 1? И второй вопрос: где расположена шкала, поэтому, если мы хотим измерить температуру, выбираем ли мы ставить ноль при температуре замерзания или мы выбираем 0 при абсолютном нуле? Другими словами, где 0?

Итак, в качестве примера предположим, что мы хотим измерить результат экзамена.У нас есть несколько вариантов. Мы могли бы использовать необработанное количество оценок, так что в этом случае, например, полные оценки могут быть 60. Мы можем использовать проценты, так что теперь полные оценки будут равны 100. Мы могли бы использовать шкалу, где 0 — это 50% справа, а 50 — полное. Метки. Таким образом, это будет тот же размер единицы, что и для процентов, но мы будем центрировать около 50%. Мы могли бы использовать шкалу, где средняя отметка равна 0, чтобы она была сосредоточена вокруг среднего значения. Мы могли бы использовать стандартизированную шкалу, так что в этом случае средняя оценка по-прежнему равна 0, но теперь дисперсия равна 1.Итак, эти последние три варианта, в частности, вы могли быть хорошо знакомы с ними как с вещами, которые вы, возможно, захотите делать, когда анализируете данные и подбираете регрессионную модель. Поэтому важно помнить, что это не просто выбор, который делается при сборе данных, это также выбор, который мы делаем, когда на самом деле анализируем данные.

Так какая разница в параметрах, какой масштаб мы выберем для x ?

Параметры и масштаб

x

Ну, для параметров уклона, β 1 , колодец β 1 будет зависеть от единиц, которые мы выберем для x 1 , поэтому это будет зависеть от того, измеряем ли мы высоту в сантиметрах или метров, и эта идея, вероятно, уже знакома из простой регрессии: мы знаем, что если мы измеряем рост в метрах, мы получим другую оценку для β 1 , чем если бы мы измеряли рост в сантиметрах, и мы ‘ Мы привыкли помнить об этом, когда мы интерпретируем нашу оценку для β 1 .Но β 1 не будет зависеть от того, где мы поместим x = 0, и то же самое верно и для u 1 , это также зависит от единиц, но не от того, где x = 0 есть.

Так что насчет перехвата? Что ж, β 0 , пересечение всей линии, будет зависеть от того, где мы поместим x = 0, но это не будет зависеть от единиц, которые мы используем для x , и, опять же, это, вероятно, вполне знакомо по регрессии: мы привыкли к идее, что если вы центрируете объясняющую переменную перед тем, как поместить ее в регрессионную модель, вы получите другую оценку для точки пересечения, чем если бы вы поместили переменную без центрирования.Таким образом, точка пересечения будет зависеть от того, измеряем ли мы температуру, например, в градусах Цельсия или Кельвина, но не в зависимости от того, измеряем ли мы высоту в сантиметрах или метрах.

u 0 не зависит от единиц, которые мы используем для x , но зависит ли это от того, где мы помещаем 0? На самом деле это зависит от того, в какую модель мы подходим.

Так вот модель со случайным уклоном

Модель случайного наклона

На самом деле это тот же самый, что мы рассматривали в начале, и на этом графике мы выбрали три разных места, чтобы поставить x = 0, и пометили их вертикальными линиями, и для каждого места, которое мы могли бы положить x = 0, мы поставили u 0 , поэтому, если мы положим x = 0 здесь

, тогда для красной группы u 0 довольно большое и отрицательное значение, для синей группы оно все еще довольно большое и положительное.

Если мы положим здесь x = 0, то

, то для обеих групп: u 0 стало меньше, но знаки остались прежними.

Если положить x = 0 здесь

, теперь вы можете видеть, что знаки поменялись местами. Здесь u 0 положительно для красной группы,

но здесь и здесь было отрицательно,

а здесь

u 0 отрицательно для синей группы,

а здесь

и здесь было положительно,

настолько очевидно, что это будет иметь большое значение для нашей оценки u 0 , где мы решаем положить x = 0.

Если сейчас поставить зеленую группу

, мы видим, что на самом деле связь между u 0 и местом, где мы положили
x = 0, даже сложнее, чем можно предположить, просто глядя на красную и синюю группы. Потому что для красной и синей группы здесь

у 0 довольно большой,

он станет меньше, если мы положим x = 0 здесь

, а затем, если мы положим
x = 0, знак изменится, но на самом деле зеленая группа не следует тому же шаблону.

Для зеленой группы, если мы положим x = 0 здесь

у 0 совсем маленький,

, если положить x = 0, здесь u 0 больше,

и если мы положим x = 0 здесь

u 0 еще больше и не поменял знак.

Таким образом, это показывает, что связь между и 0 и местом, где мы положили x = 0, на самом деле довольно сложно, и не обязательно будет просто исправить то место, где мы положим x = 0 и получим какое-то общей оценки для u 0 , которая каким-то образом не зависит от того, где мы положили x = 0, это действительно так, когда мы интерпретируем наши оценки u 0 , мы должны принять во внимание где мы положили x = 0 и интерпретируем оценки в свете этого.

Хорошо, а как насчет модели случайного перехвата?

Модель случайного перехвата

Что ж, для модели случайного перехвата на самом деле не имеет значения, где мы положим x = 0 относительно того, какую оценку мы получим для u 0 , так что снова вы можете видеть, что мы здесь проделали то же самое, для красной группы теперь вы можете видеть, что независимо от того, где мы положим x = 0, u 0 точно то же самое, а для синей группы u 0 равно точно так же, независимо от того, где мы положим x = 0.Для зеленой группы u 0 одинаково, независимо от того, где мы положим x = 0. И на самом деле это то, что, хотя мы на самом деле не упоминали об этом напрямую, когда мы говорили о моделях случайного перехвата, мы как бы неявно предполагали это, потому что, когда мы интерпретировали нашу оценку u 0 и нашу оценку в в частности, из σ 2 u 0 мы не учли, где мы положили x = 0, это вообще не вошло в нашу интерпретацию, и это было нормально, потому что, как мы видим, на самом деле это не имеет значения.

Модель случайного перехвата — пример

Таким образом, для случайных перехватов [модель], где x = 0 не имеет значения для значения u 0 , но для модели случайных наклонов не имеет значения для значения u 1 , но это имеет значение для значения и 0 . А это означает, что дисперсия σ 2 u 0 также будет затронута, как и ковариация, σ u 01 , и поэтому мы должны интерпретировать σ 2 u 1 , σ 2 u 0 и
σ u 01 вместе и с учетом того, где мы положили x = 0.

Итак, в качестве примера представьте, что мы подбираем модель случайных уклонов и снова подбираем ее для учеников в школах, и наш ответ — GCSE, нашей объясняющей переменной является предыдущий результат экзамена, измеренный в%, поэтому x = 0 ничего не значит правильно, и да, наши подразделения — это ученики в школах. Итак, представьте, что наши данные такие, как мы можем видеть здесь справа. Таким образом, если мы посмотрим только на значение σ u 01 , скважина σ u 01 имеет отрицательное значение, линии с большими пересечениями имеют меньший наклон, линии с меньшими пересечениями имеют больший наклон. , поэтому мы подумаем, что это разветвление.На самом деле в диапазоне наших данных, там, где линии толстые, а не пунктирные, там, где у нас на самом деле есть точки в нашем наборе данных, шаблон фактически разветвляется. Таким образом, это отрицательное значение для σ u 01 дало нам совершенно неверное представление о форме наших данных. Мы можем убедиться в этом, посмотрев на график. И это потому, что на самом деле здесь есть шаблон разветвления, эта отрицательная ковариация верна для этого диапазона значений, который не является диапазоном, который на самом деле есть в нашем наборе данных.Если мы положим здесь x = 0, мы получим оценку σ u 01 , что равно 0, и если мы положим здесь x = 0, мы получим оценку σ u 01 , которое было больше 0, так что фактически соответствовало бы схеме разветвления, которую мы видим в наших данных. Итак, когда мы фактически получаем наши оценки для модели, а также смотрим на значение σ u 01 и видим, является ли оно положительным или отрицательным или близким к 0, важно также построить график нашей оценочной группы. строки для наших данных, чтобы мы действительно могли видеть, каков шаблон для диапазона наших данных, и это то, к чему мы вернемся позже в разделе о прогнозировании.

Итак, на какие исследовательские вопросы мы можем ответить, используя модель случайного уклона?

Примеры исследовательских вопросов

Ну вот несколько примеров. Итак, в этом исследовании [ Clark et al, 1999 ] они рассмотрели вопрос исследования: существует ли большая разница между испытуемыми в скорости изменения оценки краткого экзамена на психическое состояние (MMSE)? Таким образом, у них был предмет на уровне 2 и случай на уровне 1, их случайный наклон соответствовал году, и они ответили утвердительно.Краткий экзамен на психическое состояние на самом деле используется для оценки пациентов, у которых была диагностирована болезнь Альцгеймера, и авторов действительно интересовал этот вопрос, потому что они задавались вопросом, является ли это хорошим показателем, и на самом деле решили, что это не так, в основном из-за этого большого размера. степень вариации наклона между предметами. Кроме того, интересно отметить, что корреляция между его наклоном и перехватами составила 0,33 для их данных, так что это означает, что субъекты с более высокими перехватами имели меньшее снижение оценки MMSE.

В этом исследовании [ Tymms et al, 1997 ] изучалось, различается ли влияние успеваемости в начале школы на успеваемость после первого года обучения в разных школах. Они смотрели на детей, которые впервые пошли в школу. Итак, у них была школа на уровне 2 и ученик на уровне 1, и их случайный наклон был на предварительном тесте, и они ответили утвердительно, эффект действительно различается в разных школах. Тем не менее они прокомментировали, что обнаруженная ими вариативность уклонов может быть связана с потолочными эффектами их итогового теста: в некоторых школах ученики получали настолько высокие баллы с самого начала, перед тем, как поступить в школу, что на самом деле не было места для пройти аттестацию по окончании школы.

В этом примере [ Polsky and Easterling, 2001 ] они рассмотрели вопрос о том, различаются ли районы по своей чувствительности стоимости земли к климату, поэтому они рассматривали районы в районе Великих равнин США, и их климатический показатель был средним максимумом. Июльская температура более 30 лет, и они смотрели на стоимость земли, но на самом деле их интересовало землепользование — стоимость земли была косвенным показателем землепользования, потому что разные культуры имеют разные цены, так что это позволяет измерять землепользование.Итак, у них были районы на уровне 2 и округа на уровне 1, и их случайный наклон был на этом измерении средней максимальной температуры июля, и их ответ был: Да, районы действительно различаются по чувствительности стоимости земли к климату. И они фактически продолжили подгонку модели, которая показывала, что округа в округах, которые имеют большую изменчивость температуры от года к году (у них была мера этого), на самом деле больше выигрывают от высоких температур июля. Но это более сложная модель, чем мы собираемся рассматривать в этом конкретном наборе презентаций.

В этом примере [ Jex and Bliese, 1999 ] изучается, существует ли различие между армейскими компаниями во взаимосвязи между отработанными часами и психологическим напряжением. Таким образом, у них была компания на уровне 2 и солдат на уровне 1, и случайный наклон был связан с отработанными часами, и их ответ был: да, между компаниями есть различия. И они также подошли к более сложной модели, чтобы попытаться объяснить это. Они задавались вопросом, можно ли объяснить эту изменчивость разным мнением в отношении эффективности компании в разных компаниях — а значит, насколько эффективной будет эта компания в решении поставленных перед ней задач.Но они фактически пришли к выводу, что это не объясняет изменчивость.

А вот подробности этих исследований:

  • Кларк, К., Шеппард, Л., Филленбаум, Г., Галаско, Д., Моррис, Дж., Косс, Э., Мос, Р., Хейман, А., исследователи
    CERAD (1999) Вариабельность ежегодных оценок минимального психического состояния у пациентов с
    вероятной болезнью Альцгеймера
    Архив неврологии, 56 стр. 857 — 862
  • Jex, S. и Bliese, P. (1999) Убеждения об эффективности как модератора воздействия стрессоров, связанных с работой: многоуровневое исследование
    Journal of Applied Psychology 84 3 стр. 349 — 361
  • Польский, с.и Истерлинг, W.E. (2001) Адаптация к изменчивости и изменению климата на Великих равнинах США
    : многомасштабный анализ чувствительности климата Рикардо
    Сельское хозяйство, экосистемы и окружающая среда
    85 стр. 133 — 144
  • Тиммс, П., Меррелл, К., Хендерсон, Б. (1997) Первый год в школе: количественное исследование успеваемости и успеваемости учеников
    Образовательные исследования и оценка 3: 2 стр. 101 — 118

Расчет общей дисперсии

В презентации «Подбор и интерпретация модели случайного уклона» мы упомянули, что мы не можем интерпретировать оценки случайных параметров уровня 2 по отдельности, мы должны интерпретировать их вместе — так что это дисперсия наклонов, дисперсия точки пересечения и ковариация между точками пересечения и наклона — эти три параметра должны интерпретироваться вместе.И мы посмотрим, как это сделать сейчас, потому что способ интерпретировать их вместе — это вычислить дисперсию уровня 2.

Итак, если мы посмотрим в первую очередь на дисперсию уровня 1, это довольно просто. У нас есть только один случайный член на уровне 1, у нас просто e 0 . Таким образом, дисперсия уровня 1 составляет всего σ 2 e 0 .

Для дисперсии уровня 2 у нас есть два случайных члена на уровне 2. У нас есть u 0 и u 1 x 1 .Таким образом, дисперсия уровня 2 будет дисперсией ( u 0 + u 1 x 1 ), так что на самом деле это будет дисперсией u 0 плюс 2 умноженное на ковариацию между u 0 и u 1 x 1 , плюс дисперсию u 1 x 1 . И это σ 2 u 0 , потому что мы определили дисперсию u 0 как σ 2 u 0 ; плюс 2 раза σ u 01, , потому что мы определили ковариацию между u 0 и u 1 как σ u 01 , умножить на x 1 ; плюс σ 2 u 1 , потому что это отклонение от u 1 (мы определили это так), умноженное на x 1 2 .И обратите внимание, что дисперсия уровня 2 теперь является квадратичной функцией x 1 . Таким образом, для модели случайного перехвата дисперсия уровня 2 составляла всего σ 2 u 0 , так что это было просто постоянным, независимо от того, какое значение x 1 у нас было. Но для модели случайных уклонов дисперсия уровня 2 фактически зависит от значения x 1 , на самом деле это квадратичная функция x 1 .

Таким образом, коэффициент разделения дисперсии теперь также будет зависеть от x 1 , поэтому коэффициент разделения дисперсии по-прежнему является дисперсией уровня 2, деленной на общую остаточную дисперсию, и поэтому здесь дисперсия уровня 2 сверху, как и мы. вычислил его здесь, и внизу мы снова получили дисперсию уровня 2 плюс дисперсию уровня 1. И мы могли бы построить график дисперсии уровня 2 против x , чтобы изучить, как она изменяется при различных значениях x .Мы также могли бы построить график коэффициента разделения дисперсии против x , чтобы изучить, как это изменится, но мы собираемся получить довольно похожую информацию на любом из этих графиков, поэтому, вероятно, стоит сделать только один из них.

Проверка гипотез для модели случайных наклонов

Ну, на самом деле это почти то же самое, что и для модели случайных перехватов. Таким образом, для фиксированной части наша оценка β k значима на уровне 5%, если модуль β k , деленный на его стандартную ошибку, составляет> 1.96, так что это то же самое, что и одноуровневая регрессионная модель. Для случайной части нам снова нужно использовать тест отношения правдоподобия, поэтому на этот раз мы сравниваем модель с u 1 x 1 с моделью без u 1 x 1 . Таким образом, мы просто сравниваем модель случайного наклона, это модель с u 1 x 1 , с моделью случайного пересечения, это модель без u 1 x 1 .Таким образом, эти две модели абсолютно одинаковы с точки зрения независимых переменных, с той лишь разницей, что в модели случайных наклонов есть u 1 x 1 . Итак, опять же, статистика теста в 2 раза больше логарифмической вероятности первой модели минус логарифмическая вероятность второй модели, и на этот раз у нас есть 2 степени свободы, потому что у нас есть 2 дополнительных параметра в первой модели по сравнению со второй моделью: у нас есть σ 2 u 1 на этот раз и σ u 01 .Итак, мы сравниваем статистику теста с распределением 2 (2) с 2 степенями свободы, и снова мы можем разделить значение p на 2, если захотим. Таким образом, нулевая гипотеза состоит в том, что σ 2 u 1 и σ u 01 оба равны 0, и если это так, то модель случайного пересечения будет более подходящей, чем модель случайного наклона. .

Давайте теперь вернемся к техническим деталям модели и посмотрим, какие допущения мы делаем при подборе модели случайного наклона.

Что ж, у нас есть все те же предположения, что и для модели случайного пересечения, и, кроме того, мы предполагаем, что остатки наклона для двух разных групп не коррелированы; мы предполагаем, что ковариация между пересечением и невязкой наклона для одной и той же группы составляет σ u 01 и что невязки пересечения и наклона для разных групп не коррелированы, и мы предполагаем, что невязка наклона не коррелирует с остаток уровня 1 и остаток наклона не коррелирован с ковариатами.

Корреляционная матрица

Если мы хотим посмотреть на корреляционную матрицу сейчас

Что ж, мы снова рассмотрим корреляцию между значением ответа минус прогноз фиксированной части для каждой пары индивидуумов в нашем наборе данных, и для модели случайного наклона ответ минус прогноз фиксированной части сводится к следующему, просто случайная часть модели. Итак, какова на самом деле ковариация между этим для каждой пары индивидуумов в нашей группе? Что ж, когда мы смотрим на одних и тех же людей, то есть диагональные элементы нашей ковариационной матрицы, ковариация между этими членами на самом деле является просто общей дисперсией, вот дисперсия 2 уровня плюс дисперсия 1 уровня, а для двух элементов из разных групп, эта ковариация равна нулю.Но если мы хотим посмотреть на ковариацию для двух разных людей из одной группы, то есть на внутриклассовую корреляцию, это на самом деле немного сложнее.

Для модели случайного пересечения внутриклассовая корреляция была идентична коэффициенту разделения дисперсии, и ее было довольно просто вычислить. Для модели случайных наклонов внутриклассовая корреляция не равна коэффициенту разделения дисперсии, потому что внутриклассовая корреляция будет зависеть от значения x 1 для каждого из двух рассматриваемых элементов.Коэффициент разделения дисперсии просто зависел от одного значения x 1 , но если у двух разных людей разные значения x 1 , оба эти значения войдут в формулу для внутриклассовой корреляции. Точное выражение для внутриклассовой корреляции довольно сложно; мы не собираемся приводить его здесь, потому что важно просто отметить, что внутриклассовая корреляция будет зависеть от двух значений: x 1 , а также σ 2 u 1 , σ 2 u 0 и σ u 01 .

Итак, давайте теперь посмотрим на прогнозы для модели случайного наклона

.

Прогнозы для модели случайного уклона

И помните, что в презентации о подборе и интерпретации модели случайного уклона, когда мы говорили об интерпретации ковариации между пересечениями и уклонами, мы упоминали, что очень важно, а также просто смотреть на оценку, построить прогнозируемую группу. линий, чтобы правильно интерпретировать эту оценку, и теперь мы собираемся показать, как это сделать.Таким образом, прогноз с фиксированной частью даст общую линию регрессии, поэтому прогноз такой, и вот линия, которую мы получаем.

Для групповых линий мы должны добавить остатки уровня 2 к нашему предсказанию фиксированной части, и это даст нам групповые линии, поэтому теперь наше предсказание — , и вот групповые линии, которые мы получаем. И мы можем добавить точки данных к обоим прогнозам, чтобы увидеть, насколько хорошо эти линии соответствуют нашему набору данных. И мы, очевидно, можем объединить оба этих прогноза на одном графике, если захотим, чтобы получить общую картину нашей модели, и если мы это сделаем, это то, что мы получим, и мы можем снова добавить точки данных.


Итак, есть картина нашей модели случайного наклона, и теперь мы можем проверить, показывают ли наши данные паттерн разветвления или разветвления, или, как в этом конкретном примере, нет закономерности.

Модели со случайным уклоном и случайные пересечения

[Мы] теперь поговорим о моделях случайного уклона и случайных пересечениях, потому что здесь есть несколько моментов, которые могут сбивать с толку. Итак, в первую очередь, вопрос терминологии. Итак, эта модель случайного наклона здесь, которую мы рассматривали в этих презентациях, действительно имеет случайный перехват, а также случайный наклон, так что это означает, что технически это также модель случайного перехвата, это не неправильно называть ее модель случайного перехвата.Но на практике обычно, когда мы используем термин «модель случайного перехвата», мы имеем в виду модель, которая имеет только случайный перехват, а не случайный наклон.

Всегда ли мы должны добавлять случайное пересечение к модели случайного уклона? Что ж, до сих пор мы всегда показывали случайную точку пересечения в нашей модели случайного наклона, и если мы оставим случайную точку пересечения, это будет означать, что все линии группы пересекаются в точке
x = 0, и если у нас действительно есть хорошая причина полагать, что групповые линии должны пересекаться на
x = 0, тогда мы можем подобрать модель без случайных пересечений.Но обычно у нас нет веских оснований полагать, что обычно мы вводим случайный перехват.

Множественные независимые переменные

Так что, если мы хотим добавить в нашу модель несколько независимых переменных?

До сих пор мы рассматривали модель только с одной объясняющей переменной, но если мы хотим иметь более одной объясняющей переменной, то что это означает для нашего случайного наклона? Что ж, на самом деле мы можем задать случайный наклон только для одной из наших независимых переменных, или мы можем задать случайный наклон для нескольких из них, как в этом примере.Или мы можем даже нанести случайный наклон всем нашим независимым переменным. Но, в зависимости от количества единиц уровня 2 в нашем наборе данных, на практике у нас может не хватить мощности, чтобы задать случайный наклон более чем для одной объясняющей переменной. Итак, теоретически мы можем применить случайные наклоны к любому количеству или меньшему количеству наших объясняющих переменных, но на практике могут быть некоторые ограничения на то, сколько случайных наклонов мы можем уместить.

Мы можем помещать случайные наклоны в условия взаимодействия, мы можем помещать их также и в категориальные переменные, в этом случае мы просто добавляем наклон к фиктивной переменной.

Как рассчитать уклон / уклон? «Подъем через бег» в геолого-геофизических исследованиях

Многие из нас знают, что наклон линии рассчитывается по методу «подъем за пробегом». Однако применение расчета уклона может показаться немного более сложным. В области наук о Земле вас могут попросить вычислить наклон холма или определить скорость, вычислив наклон линии на графике. Эта страница предназначена для того, чтобы помочь вам овладеть этими навыками, чтобы вы могли использовать их в своих курсах геолого-геофизических исследований.

Зачем нужно рассчитывать уклон или уклон?

В науках о Земле склон может сыграть важную роль в решении ряда задач. Наклон холма может помочь определить степень вероятной эрозии во время ливня. Градиент уровня грунтовых вод может помочь нам понять, может ли (и насколько) загрязнение повлиять на местный колодец или источник воды.

Как рассчитать уклон (или уклон) в науках о Земле?

Градиент в случае склона холма и уровня грунтовых вод аналогичен вычислению наклона линии на графике — «подъем» над «бегом».Но как это сделать с помощью контурной (или топографической) карты?

  1. Сначала ознакомьтесь с особенностями интересующей топографической карты. Убедитесь, что вы знаете несколько вещей:
    • Что такое интервал между контурами (иногда сокращенно CI)?
    • Каков масштаб карты?
    • Для какого объекта вы хотите узнать наклон?
    Ниже представлена ​​топографическая карта Math State Park. Вам интересно построить путь от вершины холма на этой карте к ручью (Equation Creek) и вы хотите узнать наклон холма. Вам, вероятно, следует распечатать карту (с инструкциями по вычислению уклона) (Acrobat (PDF) 93kB Oct15 08). .
    • Каков интервал изолиний на этой карте?
      Интервал изолиний сообщает вам «подъем», в частности, изменение высоты между каждой из «коричневых линий» (контуров). В этом случае интервал между контурами указывается клавишей в правом нижнем углу и обозначается сокращенно CI. Интервал изолиний — 20 футов.
    • Каков масштаб карты?
      Шкала показывает «пробег» или расстояние до земли.На этой карте он также показан в правом нижнем углу и отображается только графически. Если вы распечатаете карту (с инструкциями по вычислению уклона) (Acrobat (PDF) 93 КБ, 15 октября 2008 г.), вы обнаружите, что 1 дюйм = 1 миля.
    • Для какого объекта вы хотите узнать наклон?
      В этом случае вам нужно знать наклон склона к ЗСЗ от вершины (на высоте 869 футов) до ручья.
  2. Во-первых, вам нужно знать «подъем» для функции.«Подъем» — это разница в высоте сверху вниз (см. Изображение выше). Так определите высоту вершины холма (или склона, или уровня грунтовых вод).

    Вершина интересующего нас холма составляет 859 футов. Контурная линия у ручья, где закончится ваш путь, ниже 700 футов. Это составляет 680 футов (потому что интервал изолиний составляет 20 футов). Разница в высоте — это верхняя минус нижняя (859–680 футов), поэтому «подъем» = 179 футов

  3. Далее вам нужно знать «запустить» для функции.«Бег» — это расстояние по горизонтали от самой высокой отметки до самой низкой. Итак, возьмите линейку и измерьте это расстояние. Если вы знаете масштаб, вы можете рассчитать расстояние. В большинстве случаев расстояние на картах указывается в километрах или милях.

    Красная линия представляет собой расстояние вдоль склона холма, на котором вы хотите проложить свой путь. Красная линия вдвое длиннее шкалы одной мили (на распечатанной карте это около 2 дюймов). Таким образом, расстояние от вершины до низа холма или «пробега» = 2 мили

  4. Теперь идет часть подъема по пробегу.Есть два способа, которыми вас могут попросить произвести расчеты, связанные с уклоном. Убедитесь, что вы знаете, о чем вас спрашивает, и выполните шаги, связанные с соответствующим процессом:
    • Если вас попросят вычислить уклон (как на линии или на склоне холма), все, что вам нужно, — это простое деление. Просто убедитесь, что вы отслеживаете единицы!
      1. Как мы видели на этой странице, наклон — это «подъем за шагом». Фраза «подъем через бег» подразумевает, что вам нужно будет разделить.Уравнение для наклона выглядит так:
      2. Возьмите разницу в высоте и разделите ее на разницу по горизонтали (всегда следите за единицами измерения). На карте государственного парка Математика высота холма составляет 179 футов, а расстояние до него составляет 2 мили. Итак, мы ставим задачу так:
      3. Завершите расчет с помощью калькулятора (или произведите вычисления вручную). Теперь просто разделим подъем на разбег и завершим:

        Единицами измерения, которые вы получите, могут быть футы / мили, м / км или футы / фут (наклон можно выразить всеми этими способами).Это просто зависит от того, с чего вы начали.

    • Вас также могут попросить вычислить процент (или%) наклона . Этот расчет занимает пару шагов. И в основном это связано с уделением внимания юнитам. Единицы на подъеме и беге должны быть одинаковыми.
      1. Чтобы вычислить процент уклона , подъем и спуск должны быть в одних и тех же единицах (например, футы или метры).Если расстояние по горизонтали выражено в милях, необходимо преобразовать в футы; если расстояние по горизонтали в километрах, вам придется преобразовать в метры. (Чтобы преобразовать мили в футы, умножьте на 5280 фут / миль; км в м, умножьте на 1000 м / км. Если вам нужна дополнительная помощь или необходимо преобразовать другие единицы, см. Модуль преобразования единиц). Прямо сейчас вы встаете на ноги и пробегаете мили. Давайте переведем мили в футы, умножив на соответствующий коэффициент преобразования: 1 миля = 5280 футов.Итак, мы должны умножить «бег» на:
      2. После преобразования, так что и высота, и расстояние имеют одни и те же единицы, мы можем написать уравнение для уклона: подъем за пробегом (подразумевая подъем, деленный на пробег). Мы знаем, что подъем составляет 179 футов, а бег — 10560 футов:
        Но подождите, есть еще один шаг к достижению% наклона.
      3. Чтобы получить%, нам нужно умножить вычисленный наклон (который безразмерный, потому что единицы взаимно сокращаются сверху и снизу) на 100, чтобы наше уравнение выглядело следующим образом: Начните с подъема через бег и умножьте на 100:
      4. Теперь введите свои числа и вычислите% крутизны! Обратите внимание, что% slope не имеет единиц измерения, потому что ft отменяет при вычислении.Убедитесь, что вы указали, что это%, однако!
      5. Следующие шаги

        1. Я ГОТОВ к практике (на эти проблемы проработаны ответы)

Линии и наклоны в SAT Math: стратегии геометрии

В нашем руководстве SAT по линиям и углам мы имели дело с параллельными линиями, перпендикулярами и множеством различных способов определения углов с двумя или более линиями.Теперь мы рассмотрим другой аспект линий, а именно их наклоны и уравнения.

Это будет ваше полное руководство по линиям и уклонам — что означают уклоны, как их найти и как решать многие типы вопросов по уравнениям уклонов и линий, которые вы увидите в тесте SAT.

Что такое линии и уклоны?

Перед тем, как мы начнем, вы можете воспользоваться моментом, чтобы ознакомиться с нашим руководством по координатным точкам SAT, чтобы освежиться в основах координатной геометрии.

По сути, координатная геометрия имеет место в пространстве, где пересекаются ось $ x $ и ось $ y $. Любому месту в этом пространстве присваивается координатная точка, записываемая как $ (x, y) $, которая указывает, где точка находится вдоль каждой оси.

Линия (или отрезок) — это полностью прямой маркер без кривизны. Он состоит из (и соединяет) ряда точек вместе.

Наклон — это мера уклона (крутизны) линии. Наклон определяется путем нахождения изменения расстояния по оси y при изменении расстояния по оси $ x $.

Вы, вероятно, наиболее знакомы с этой концепцией, найдя «превышение пробега» , чтобы найти наклон линии.

$$ {\ change \ in y} / {\ change \ in x} $$

Вот типичная линия, представленная на координатной сетке. Чтобы найти наш наклон, сначала начните с отметки точек, где линия касается сетки, в точных целочисленных координатах. Это упростит жизнь, когда мы пойдем искать склон.

Везде, где сетка пересекает угол, у нас будут целые координаты.Здесь мы видим, что наша линия попадает в координаты: $ (- 3, 4) $, $ (0, 2) $ и $ (3, 0) $.

Теперь давайте найдем подъем и ход линии.

Наш «подъем» будет равен -2, так как мы должны опуститься на 2 единицы, чтобы достичь следующей точки координат в нашей линии.

Наш пробег будет +3, так как мы должны переместиться на 3 юнита вправо, чтобы достичь следующей точки координат в нашей линии.

Таким образом, наш окончательный уклон будет:

$ \ подъём / \ пробег

$

долларов {2/3}

Свойства склонов

Наклон может быть как положительным, так и отрицательным.

Положительный наклон поднимается слева направо.

Отрицательный наклон падает слева направо.

Прямая горизонтальная линия имеет нулевой наклон. Он будет определяться только одной осью.

$ у = 2 $

Прямая вертикальная линия имеет неопределенный наклон (потому что пробег всегда будет равен 0, и вы не можете разделить на 0). Он будет определяться только одной осью.

$ x = 2,5 $

Чем круче линия, тем больше наклон.

Красная линия самая крутая, с наклоном 4 доллара / 1 доллар, или 4. Синяя линия не такая крутая, с наклоном 4/9 долларов

Сан-Франциско немного знает о крутых спусках.

Формулы линии и наклона

Определение наклона

$$ {y_2 — y_1} / {x_2 — x_1} $$

Чтобы найти наклон линии, соединяющей две точки, вы должны найти изменение значений y по сравнению с изменением значений x.

( Примечание: Неважно, какие точки вы назначаете как $ (x_1, y_1) $ и $ (x_2, y_2) $, если вы последовательны.)

По координатам $ (2, 2) $ и $ (- 1, 0) $ найдите наклон прямой.

Теперь мы можем решить этот вопрос одним из двух способов — нарисовав график и посчитав или используя нашу формулу.

Поскольку мы уже видели ранее, как можно подсчитать наклон на графике, давайте воспользуемся нашей формулой, чтобы увидеть, как это делается.

Из двух координатных точек мы должны назначить один набор равным $ x_1 $ и $ y_1 $, а другой — $ x_2 $ и $ y_2 $. Давайте выберем (2, 2) в качестве наших $ x_1 $ и $ y_1 $ и (-1, 0) в качестве наших $ x_2 $ и $ y_2 $.

$ {y_2 — y_1} / {x_2 — x_1}

долларов

$ (0–2) / (- 1–2)

долл. США

$ {- 2} / {- 3} $

$ 2/3 $

Но что бы произошло, если бы мы назначили $ (- 1, 0) $ как наши $ x_1 $, а $ y_1 $ и $ (2, 2) $ как наши $ x_2 $ и $ y_2 $? В любом случае мы получили бы те же результаты!

$ {y_2 — y_1} / {x_2 — x_1}

долларов

$ (2 — 0) / (2 — -1) $

$ 2/3 $

Независимо от того, какие координаты мы назначаем первым или вторым значениями для x и y, мы получим один и тот же наклон, пока мы будем согласованным .

Уравнение прямой

$$ y = mx + b $$

Это называется «уравнением линии» или линией в «форме пересечения наклона», и оно показывает, как именно линия расположена вдоль осей $ x $ и $ y $, а также насколько она крута. Это самая важная формула, которая вам понадобится, когда дело касается линий и уклонов, поэтому давайте разберем ее на части.

  • $ y $ — это значение вашей координаты $ y $ для любого конкретного значения $ x $.
  • $ x $ — это значение вашей координаты $ x $ для любого конкретного значения $ y $.
  • $ m $ — это мера вашего уклона.
  • $ b $ — это значение $ y $ -перехвата вашей строки. Это означает, что это значение, при котором линия касается оси $ y $ (помните, что прямая линия будет касаться каждой оси максимум один раз).

Найдите уравнение прямой на графике.

Мы используем тот же график, что и выше, и видим, что линия пересекается с осью $ y $ примерно на отметке $ y = 0,5. $ *

Ранее мы также определили, что наклон составляет $ 2/3 $.

Итак, когда мы сложим эти две части информации вместе, уравнение нашей линии будет:

$ y = {2/3} x + 0,5 $

* Если в вопросе вы хотите, чтобы вы были более конкретными, чем «примерно половина», в какой части числа попадает линия $ x = 0 $ или $ y = 0 $, на нем будет более подробный рисунок. В этом вопросе, хотя фактический перехват для линии с координатами $ (2,2) $ и $ (0, -1) $ на самом деле будет $ 2/3 $ или $ 0,66 $, а не $ 0,5 $, график не в масштабе, в котором вы могли бы это визуально оценить.

Не забывайте всегда переписывать любые линейные уравнения, которые вам даны, в правильной форме! Часто тест пытается сбить вас с толку, предлагая уравнение , а не , записанное в надлежащей форме, и запрашивая наклон линии. Это сделано для того, чтобы люди совершили ошибку, если они слишком быстро проходят тест.

$$ tx + 12y = -3 $$

Приведенное выше уравнение является уравнением прямой на плоскости $ xy $, а $ t $ — константа.Если наклон линии равен -10, каково значение $ t $?

Во-первых, давайте поместим это уравнение в собственное уравнение прямой.

$ tx + 12y = −3 $

$ 12y = −tx − 3 $

$ y = — {tx} / {12} -3 / 12 $

Теперь нас интересует только нахождение наклона, поэтому давайте найдем значение t (нашего наклона), используя данное.

$ — {t / 12} = -10 $

$ -т = -120 $

$ т = 120 $

Наш окончательный ответ: $ t = 120 $.

Всегда не забывайте составлять уравнение в качестве первого шага, и вы сможете быстро и легко решить практически любую проблему уклона.

Перпендикулярные линии

Когда две прямые пересекаются под прямым углом, они называются «перпендикулярными». Перпендикулярные линии всегда будут иметь наклон, обратный друг другу. Это означает, что вы должны поменять местами как знак наклона, так и дробь.

Например, если две линии перпендикулярны друг другу и одна имеет наклон $ 3/4 $, другая линия будет иметь наклон $ — {4/3} $.

Перпендикулярные линии с уклоном $ 3/4 $ и $ — {4/3} $

И если линия имеет наклон −5, прямая, которая пересекает ее перпендикулярно, будет иметь наклон $ 1/5 $.

Параллельные линии

Когда две линии никогда не пересекаются, независимо от того, насколько они бесконечно длинны, линии считаются параллельными. Это означает, что они постоянно равноудалены.

Если две линии параллельны, они также будут иметь одинаковый наклон.Вы можете понять, почему это имеет смысл, поскольку подъем за пробег всегда должен быть одинаковым, чтобы линии никогда не касались друг друга.

Параллельные прямые с уклоном 4/3 $

Когда линии становятся непростыми.

Типичные вопросы о прямой и наклоне

Большинство вопросов о прямой и наклоне в SAT по своей сути являются довольно простыми. Обычно вы видите два вопроса об уклонах в каждом тесте , и почти все они просто просят вас найти наклон линии или уравнение линии.

В тесте может быть предпринята попытка усложнить вопрос, используя другие формы или фигуры, но вопросы всегда сводятся к этим простым концепциям.

Просто не забудьте переписать любые заданные уравнения в правильную форму пересечения уклона и помните свои правила поиска уклонов (и ваши правила для параллельных или перпендикулярных линий). Обладая этими знаниями, вы сможете быстро и легко решать подобные проблемы.

Из графика мы видим, что точка пересечения оси y линии равна (0,1).

Линия также проходит через точку (1,2).

Этой информации достаточно, чтобы определить наклон линии, которая, как мы знаем, равна $ {\ change \ in y} / {\ change \ in x} $.

$ {2-1} / {1-0} = {1} / {1} = 1 $

Теперь мы знаем, что наклон линии равен 1.

В форме пересечения угла наклона уравнение для прямой $ l $ имеет вид $ y = x + 1 $ или вариант D.

Наш окончательный ответ — D.

Мы знаем, что наклон — это $ {\ change \ in y} / {\ change \ in x} $.

Уравнение $ y = kx + 4 $ уже находится в форме пересечения наклона, поэтому мы знаем, что наклон прямой равен $ k $.

Мы также знаем, что линия содержит точку $ (c, d) $, что означает, что мы можем заменить эти переменные на $ (x, y) $ в уравнении.

Это дает нам $ d = kc + 4 $

Решение этого уравнения для наклона, $ k $, дает нам $ k = {d-4} / c $

Наш окончательный ответ: A, $ {d-4} / c $

Как решить задачу о прямых и уклонах

При решении проблем с леской и уклоном помните следующие советы:

# 1: Всегда преобразовывайте уравнение в $ y = mx + b $

Создатели тестов часто представляют вам уравнение линии, которое находится в неправильной форме, например: $ 4y + 3x = 12 $.

Если вы проводите тест слишком быстро или если вы забудете преобразовать данное уравнение в правильную форму пересечения наклона, вы неправильно определите наклон линии. Поэтому всегда не забывайте приводить уравнение в правильную форму в качестве первого шага.

$ 4y + 3x = 12 $ => $ y = — {3/4} x + 3 $

# 2: Всегда помните свой $ \ rise / \ run $

Может быть легко сделать ошибку, попробовав найти изменение в $ x $ до того, как найти изменение в y, поскольку наш мозг привык делать что-то «по порядку».»Тщательно отслеживайте свои переменные, чтобы избежать неосторожных ошибок такого рода.

Запомните мантру «Возвышаться над бегом», и это поможет вам всегда знать, найти ваше изменение y по сравнению с вашим изменением в $ x $.

# 3: Создайте свой собственный график и / или посчитайте, чтобы найти свой наклон

Поскольку наклон всегда означает «подъем за пробегом», вы всегда можете найти наклон с помощью графика — будь то данный график или ваш собственный. Неплохо потратить секунду и построить свой собственный график, если он вам не предоставлен.Это поможет вам лучше визуализировать проблему и избежать ошибок.

Если вы забыли свои формулы (или просто не хотите их использовать), просто посчитайте, как линия поднимается (или опускается), и проследите ее «пробег», и вы всегда найдете свой наклон.

О, в те дни, когда все, что нам нужно было знать о линиях, было то, как раскрашивать их (или из них) …

Проверьте свои знания

Теперь, когда мы рассмотрели типичные вопросы об уклонах, которые вы увидите в тесте (и несколько основных советов, которые вам понадобятся для их решения), давайте проверим ваши знания.

Ответы: D, A, B, D

Объяснение ответа:

1. Мы знаем, что наклон — это $ {\ change \ in y} / {\ change \ in x} $.

Нам также говорят, что наш наклон равен -2, что означает, что он должен быть $ — {2/1} $.

Это означает, что каждый раз, когда наше значение y уменьшается на 2, наше значение x увеличивается на 1. И каждый раз, когда наше значение y увеличивается на на 2, наше значение x будет уменьшаться на на 1.

Если мы используем наш прямоугольник, у нас также есть одна точка отсчета на линии. Мы видим, что прямоугольник имеет длину 3 (потому что он простирается по горизонтали от $ x = 0 $ до $ x = 3 $) и длину 4 (потому что он простирается по вертикали от $ y = 0 $ до $ y = 4. $).

Это означает, что прямоугольник касается линии в верхнем правом углу с координатами (3, 4).

Теперь мы можем просто посчитать, где линия коснется оси Y.

Поскольку наклон увеличивается по горизонтали (вдоль оси x) на одну единицу за раз, мы можем видеть, что на линии будет $ 3/1 = 3 $ четных точек, необходимых для нахождения точки пересечения с y.По сути, это означает, что мы берем наклон, $ — {2/1} $, и умножаем его на 3, чтобы получить $ — {6/3} $.

Другими словами, мы добавляем 6 к изменению y и вычитаем 3 из изменения x, потому что мы берем наклон в обратном направлении.

Итак, теперь мы можем найти нашу новую точку, сказав, что мы увеличили значение y с 4 до $ 4 + 6 = 10 $, и мы уменьшили значение x с 3 до $ 3−3 = 0 $, что даст нам новый склон:

$ (4 + 6) / (3 — 3) = 10/0

$

Итак, наша новая точка координат — (0, 10), что означает, что наше пересечение по оси Y равно 10.

Наш окончательный ответ — D, 10.

2. Мы знаем, что можем найти наклон линии, используя $ {y_2 — y_1} / {x_2 — x_1} $, поэтому давайте подставим наши координаты (0, r) и (s, 0) для эти значения.

$ {y_2 — y_1} / {x_2 — x_1}

долларов

$ (0 — r) / (s — 0) $

$ р / сек $

Наш s останется неизменным, но наше значение r станет отрицательным, так как оно вычитается из нуля.

Наш окончательный ответ — A.

3. Если вы посчитаете до точки, в которой линия пересекает точку пересечения оси y, вы увидите, что она попадает в точку $ y = 3 $

.

В уравнении $ y = mx + b $, b является точкой пересечения с y. Это означает, что наш b будет 3.

Таким образом, мы можем вычеркнуть варианты ответов A и D, оставив нас на B, C и E.

Мы также можем видеть, что наша линия падает слева направо, поэтому угол наклона будет отрицательным. Это означает, что мы можем исключить вариант ответа E, оставив нас между вариантами B и C.

Теперь возьмем две точки, в которых линия касается осей.Мы уже видели, что линия касается точки пересечения оси Y при $ y = 3 $, и мы также можем видеть, что линия касается оси x в точке $ x = 2 $. Это означает, что наша линия попадает в координаты (0, 3) и (2, 0).

Это означает, что изменение нашего значения y равно -3, а изменение нашего значения x равно +2. (Почему? Потому что мы уменьшили наше значение y на 3, а мы увеличили наше значение x на 2.)

Итак, наш наклон должен быть $ — {3/2} $, что означает, что наше окончательное уравнение будет:

$ y = — {3/2} x + 3 $

Наш окончательный ответ — Б.

4. Нам говорят, что уравнение линии составляет $ y = 2x-5 $.

Это означает, что наклон линии равен 2, а точка пересечения $ y $ находится в точке (0, -5).

Наклон 2 означает, что при каждом увеличении $ x $ на 1 $ y $ увеличивается на 2.

Глядя на каждый из графиков, варианты C и D — единственные линии с наклоном 2. (Не обманывайтесь выбором B с наклоном -2).

Теперь мы можем взглянуть на $ y $ -перехватывания.

Выбранная строка C имеет перехват $ y $ в ($ 0,5) $, что не соответствует уравнению данной линии.

Однако строка выбора D имеет перехват $ y $ в $ (0, -5) $, что и является именно тем, что мы ищем.

Выбор D — единственная линия с правильным наклоном и пересечением по оси Y.

Наш окончательный ответ — D.

Ура, ура! Вы нашли свои склоны, вы знаете свои линии! Поздравляю, поздравляю.

Итоги

После того, как вы ознакомитесь с основами координатной геометрии, уклоны не должны выходить слишком далеко за пределы поля. Хотя SAT будет пытаться усложнить задачи настолько, насколько это возможно, вопросы о линиях и уклонах почти всегда проще, чем кажется.

Держите важные формулы близко к сердцу и будьте бдительны со своими отрицательными знаками, и у вас все будет хорошо, когда дело доходит до склонов и пересечений.

Что дальше?

Уф! Вы узнали все, что нужно, чтобы узнать об углах наклона. К счастью для вас (для определенного определения «удачи»), есть еще много всего, что нужно узнать! Прежде чем продолжить, убедитесь, что у вас есть твердое представление обо всех темах, рассматриваемых на SAT-математике, чтобы вы могли видеть, что нужно расставить по приоритетам.

Если вы ищете конкретную математическую тему , воспользуйтесь нашим математическим архивом SAT для отдельных руководств по темам, подобных этому. У нас есть руководства по твердой геометрии, вероятности, отношениям и многому другому!

Если вы не знаете, с чего начать, обязательно пройдите пробный тест и посмотрите, какова ваша оценка.Это даст вам хорошее представление о ваших сильных и слабых сторонах и о том, как вам следует сосредоточить свое учебное время.

Хотите получить наивысший балл? Ознакомьтесь с нашим руководством по получению 800 очков, написанным отличным бомбардиром!

Хотите улучшить свой SAT на 160 баллов?

Ознакомьтесь с нашей лучшей в своем классе онлайн-программой подготовки к SAT. Мы гарантируем возврат ваших денег , если вы не улучшите свой SAT на 160 или более баллов.

Наша программа полностью интерактивна, и она адаптирует то, что вы изучаете, к вашим сильным и слабым сторонам. Если вам понравилось это руководство по математической стратегии, вам понравится наша программа. Наряду с более подробными уроками вы получите тысячи практических задач, организованных по индивидуальным навыкам, чтобы вы могли учиться наиболее эффективно. Мы также дадим вам пошаговую программу, которой нужно следовать, чтобы вы никогда не запутались, что изучать дальше.

Воспользуйтесь нашей 5-дневной бесплатной пробной версией:

Как использовать формулу наклона и найти наклон линии, независимо от того, является ли наклон положительным, отрицательным или неопределенным.

Разные слова, та же формула

Первый пример

Наклон линии , проходящей через точку (1, 2) и точку (4, 3), равен $$ \ frac {1} {3} $$.

Помните: разница значений y указывается в числителе формулы, а разница значений x — в знаменателе формулы.

Может ли любая точка быть $$ (x_1, y_1) $$?

Есть только один способ узнать!

Теперь давайте используем точку (4, 3) как $$ x_1, y_1 $$, и, как видите, наклон упрощается до того же значения: $ \ boxed {\ frac {1} {3}} $.

точка (4, 3) как $$ (x_1, y_1) $$

$$ slope = \ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} = \ frac {3-2} {4-1} = \ frac {1} {3} $$

точка (1, 2) как $$ (x_1, y_1) $$

$$ slope = \ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} = \ frac {2-3} {1-4} = \ frac {-1} {- 3} = \ frac {1} {3} $$

Ответ: не имеет значения, какую точку поставить первой.Вы можете начать с (4, 3) или с (1, 2), и в любом случае вы закончите с тем же самым номером! $$ \ frac {1} {3} $$

Пример 2 наклона линии А

Наклон линии , проходящей через точки (3, 4) и (5, 1), равен $$ — \ frac {3} {2} $$, потому что каждый раз, когда линия понижается на 3 (изменение y или подъем) линия переместится вправо (разбег) на 2.

Видеоурок на уклоне прямой

Наклон вертикальной и горизонтальной линий

Наклон вертикальной линии не определен

Это потому, что любая вертикальная линия имеет нулевое значение $$ \ Delta x $$ или «пробег».Всякий раз, когда знаменателем дроби является ноль, в данном случае дроби, представляющей наклон прямой, дробь не определена. На рисунке ниже показана вертикальная линия (x = 1).

Наклон горизонтальной линии равен нулю

Это потому, что любая горизонтальная линия имеет нулевое значение $$ \ Delta y $$ или «подъем». Следовательно, независимо от того, что это за прогон (при условии, что он «не равен нулю!»), Дробь, представляющая наклон, имеет ноль в числителе.Следовательно, наклон должен быть равен нулю. Ниже изображена горизонтальная линия — вы можете видеть, что она не имеет никакого «подъема».

Есть ли у двух точек на линии одинаковый наклон?

Ответ: Да, и это основной момент, о котором следует помнить при вычислении наклона.

Каждая линия имеет постоянный наклон.Другими словами, наклон линии никогда не меняется. Эта фундаментальная идея означает, что вы можете выбрать любые 2 точки на линии.

Подумайте об идее прямой линии. Если бы наклон линии изменился, то это была бы зигзагообразная линия, а не прямая, как вы можете видеть на картинке выше.

Как вы можете видеть ниже, наклон остается неизменным независимо от того, какие 2 точки вы выбрали.

Наклон линии

никогда не меняется

Проблема 1

Каков наклон прямой, проходящей через точки (10,3) и (7, 9)?

Показать ответ

$ \ frac {rise} {run} = \ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} $


Использование $$ \ red {(10,3)} $$ как $$ x_1, y_1 $$

$ \ frac {9- \ red 3} {7- \ red {10}} \\ = \ frac {6} {- 3} \\ = \ в коробке {-2} $

Использование $$ \ red {(7,9)} $$ как $$ x_1, y_1 $$

$ \ frac {3- \ red 9} {10- \ red 7} \\ = \ frac {-6} {3} \\ = \ в коробке {-2} $

Проблема 2

Линия проходит через (4, -2) и (4, 3).Какой у него наклон?

Показать ответ

$ \ frac {rise} {run} = \ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} $



Использование $$ \ red {(4,3)} $$ как $$ x_1, y_1 $$

$ = \ frac {-2 — \ red 3} {4- \ red 4} знак равно \ frac {-5} {\ color {красный} {0}} \\ = \ текст {undefined} $

Использование $$ \ red {(4, -2)} $$ как $$ x_1, y_1 $$

$ = \ frac {3- \ red {-2}} {4- \ red 4} знак равно \ frac {5} {\ color {красный} {0}} \\ = \ text {undefined} $

Проблема 3

Линия проходит через (2, 10) и (8, 7).Какой у него наклон?

Показать ответ

$ \ frac {rise} {run} = \ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} $


Использование $$ \ red {(8, 7)} $$ как $$ x_1, y_1 $$

$ \ frac {10 — \ red 7} {2 — \ red 8} \\ = \ frac {3} {- 6} \\ = — \ frac {1} {2} $

Использование $$ \ red {(2,10)} $$ как $$ x_1, y_1 $$

$ \ frac {7 — \ red {10}} {8- \ red 2} \\ = \ frac {-3} {6} \\ = — \ frac {1} {2} $

Проблема 4

Линия проходит через (7, 3) и (8, 5).Какой у него наклон?

Показать ответ

$ \ frac {rise} {run} = \ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} $


Использование $$ \ red {(7,3)} $$ как $$ x_1, y_1 $$

$$ \ frac {5- \ red 3} {8- \ red 7} \\ = \ гидроразрыва {2} {1} \\ = 2 $$

Использование $$ \ red {(8,5)} $$ как $$ x_1, y_1 $$

$$ \ frac {3- \ red 5} {7- \ red 8} \\ = \ frac {-2} {- 1} \\ = 2 $$

Проблема 5

Линия проходит через (12, 11) и (9, 5).Какой у него наклон?

Показать ответ

$ \ frac {rise} {run} = \ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} $


Использование $$ \ red {(5, 9)} $$ как $$ x_1, y_1 $$

$$ \ frac {11 — \ red 5} {12- \ red 9} \\ = \ frac {6} {3} \\ = 2 $$

Использование $$ \ red {(12, 11)} $$ как $$ x_1, y_1 $$

$$ \ frac {5- \ red {11}} {9- \ red {12}} \\ = \ frac {-6} {- 3} \\ = 2 $$

Проблема 6

Каков наклон прямой, проходящей через (4, 2) и (4, 5)?

Показать ответ

$ \ frac {rise} {run} = \ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} $


Использование $$ \ red {(4,5)} $$ как $$ x_1, y_1 $$

$$ \ frac {2 — \ red 5} {4- \ red 4} \\ = \ frac {-3} {\ color {красный} {0}} \\ = undefined $$

Использование $$ \ red {(4,2)} $$ как $$ x_1, y_1 $$

$$ \ frac {5 — \ red 2} {4- \ red 4} \\ = \ frac {3} {\ color {красный} {0}} \\ = undefined $$

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ! Можете ли вы уловить ошибку в следующей задаче, которую Дженнифер пыталась найти уклон, который проходит через точки $$ (\ color {blue} {1}, \ color {red} {3}) $$ и $$ (\ color {blue} {2}, \ color {red} {6}) $$.У нее были небольшие проблемы с применением формулы наклона, она пыталась вычислить наклон 3 раза, и она дала 3 разных ответа. Сможете ли вы определить правильный ответ?

Задача вызова

Найдите наклон прямой по двум точкам.

Попытка №1

$ slope = \ frac {rise} {run} \\ = \ frac {\ color {красный} {y_ {2} -y_ {1}}} {\ color {синий} {x_ {2} -x_ {1}}} знак равно \ frac {6-3} {1-2} \\ = \ frac {3} {- 1} = \ в коробке {-3} $


Попытка № 2

$$ slope = \ frac {rise} {run} \\ = \ frac {\ color {красный} {y_ {2} -y_ {1}}} {\ color {синий} {x_ {2} -x_ {1}}} знак равно \ frac {6-3} {2-1} \\ = \ frac {3} {1} \\ = \ в коробке {3} $$


Попытка № 3

$$ slope = \ frac {rise} {run} \\ = \ frac {\ color {красный} {y_ {2} -y_ {1}}} {\ color {синий} {x_ {2} -x_ {1}}} \\ = \ frac {2-1} {6-3} \\ = \ в коробке {\ frac {1} {3}} $$

Показать ответ

Правильный ответ — попытка №2.

В попытке №1 она не всегда использовала очки. В первой попытке она сделала следующее:

$$ \ frac {\ color {red} {y {\ boxed {_2}} — y_ {1}}} {\ color {blue} {x \ boxed {_ {1}} — x_ {2}}} $$

Проблема с попыткой №3 заключалась в изменении подъема и бега вспять.Она поместила значения x в числитель (вверху), а значения y в знаменатель, что, конечно же, противоположно!

$$ \ cancel {\ frac {\ color {blue} {x_ {2} -x_ {1}}} {\ color {red} {y_ {2} -y_ {1}}}} $$

Тренировка на уклонах Генератор задач

Вы можете сколько угодно практиковаться в решении такого рода задач с помощью приведенного ниже генератора задачи наклона.

Он будет случайным образом генерировать числа и запрашивать наклон линии, проходящей через эти две точки. Вы можете выбрать, насколько большими будут числа, регулируя уровень сложности.

Отвечать

Создать новую задачу уклона

.

Related Post

2021 © Все права защищены.